7.5 多边形的内角和与外角和-【帮课堂】2022-2023学年七年级数学下册同步精品讲义（苏科版）

多边形的内角和与外角和 知识点一、三角形三个内角之间的关系 1. 三角形的内角和是180°. 当已知三角形两个内角的度数或两个内角的度数和时，利用它可求第三个内角的度数，当已知三个内角间的一些数量关系时，也可利用它列方程求各个角的度数. 2. 直角三角形两个锐角和是90°，即直角三角形的两个锐角互余； 3. 三角形的三个内角中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角，三角形中最大内角不小于60°. 例：具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝3∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 【分析】根据直角三角形的定义一一判断即可． 【解答】解：A、由∠A＝∠B＝3∠C，可得∠A＝∠B180°，△ABC不是直角三角形，本选项符合题意． B、由∠A﹣∠B＝∠C，可知∠A＝90°，△ABC是直角三角形，本选项不符合题意． C、由∠A+∠B＝∠C，可知∠C＝90°，△ABC是直角三角形，本选项不符合题意． D、由∠A：∠B：∠C＝1：2：3，推出∠C＝90°，△ABC是直角三角形，本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 知识点二、多边形的内角和公式 1. n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)； 通过多边形的内角和公式可以通过边数求内角和，或通过内角和求多边形的边数. 2. 多边形的内角和公式推导： 如图所示，从n边形的一个顶点可以引出（n－3）条对角线，这（n－3）条对角线把n边形分成（n－2）个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和是(n-2)·180°. 3. 正多边形：各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形.正n边形的每个内角都为. 例：正九边形的每个内角的度数为（　　） A．40 B．80 C．120 D．140 【分析】根据多边形的内角和定理可计算求解． 【解答】解：（9﹣2）×180°÷9＝140°， 故选：D． 【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 知识点三、多边形的外角和 1. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 2. 多边形的外角和：在多边形的每个顶点处分别取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和，多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 如图所示：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5就是五边形ABCDE的外角和，为360°. 3. 正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于. 4. 多边形的外角和的推导：多边形的每个内角加上与它相邻的外角都等于180°，所以n边形的外角和等于n个180°的平角减去多边形的内角和，即. 例：若一个多边形的每个内角都等于与它相邻外角的2倍，则它的边数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【分析】根据多边形的内角和和外角和公式即可求解． 【解答】解：设边数为n， ∵多边形的内角和公式为：（n﹣2）×180°， ∴多边形的每个内角为：， ∵多边形的外角和公式为：360°， ∴多边形的每个外角为：， ∵一个多边形的每个内角都等于与它相邻外角的2倍， ∴2， ∴n＝6， 故选：C． 【点评】本题考查了多边形的内角和和外角和公式，本题的解题关键是由公式得出边数． 巩固练习 一．选择题（共10小题） 1．已知一个正n边形的一个外角为40°，则n＝（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 2．如图，某同学在课桌上随意将一块三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2等于（　　） A．60° B．90° C．75° D．105° 3．若一个三角形的一个角等于其它两个角的差，则这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 4．若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多边形是（　　） A．六边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 5．一个九边形的内角和为（　　） A．900° B．1080° C．1260° D．1440° 6．将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（　　） A．50° B．60° C．75° D．85° 7．具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝5：2：3 B．∠A﹣∠C＝∠B C．∠A＝∠B＝2∠C D． 8．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于点E，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点E作EF⊥AB，垂足为F．若∠B＝30°，∠AEF＝52°，则∠CAD的度数为（　　） A．14° B．15° C．16° D．17° 9．在△ABC中，∠A＝60°，直线MN∥BC，MN分别与A