6.4.3 余弦定理、正弦定理（第2课时）正弦定理 课件——2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理 第2课时 正弦定理 第六章 平面向量及其应用 余弦定理 　　三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． 复习回顾 推 论： 在直角三角形ABC中，由锐角三角函数， 再根据正弦函数的定义， A B C a b c 探究：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角，已知三边直接解三角形的公式。如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？ 思考：那么对于一般的三角形,以上关系式是否仍然成立？ ? 可分为锐角三角形， 钝角三角形两种情况分析. 思考：向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？ 证明： 过A作单位向量 垂直于 ∴ asinC=c sinA. 则 两边同乘以单位向量 B C A 同理，过点C作与 垂直的单位向量 ，可得 当 是钝角三角形时，不妨设A为钝角。如图 同理可得 与 的夹角为 过点A作与 垂直的单位向量 ，则 与 的夹角为 思考：还有证明正弦定理的其它方法吗？ ∵ B A C D a b c 而 ∴ 同理 ∴ ha 另证1：用“三角形面积公式”证明（等积法） 证明： 证明： O C/ c b a C B A 作外接圆O, 过B作直径BC’,连AC', 另证2：用“外接圆”法证明 （R为△ABC外接圆半径） 正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即 变式公式: 其中R为△ABC外接圆半径 思考： 利用正弦定理可以解决一些怎 么样的解三角形问题呢？ 正弦定理可用于两类： （1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边与另一角； （2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角，计算其他的角与边. 例1.在 中，已知 解这个三角形。 解：由三角形内角和定理，得 由正弦定理，得 例2.在 中，已知 ，解这个三角形。 解：由正弦定理，得 所以 此时 因为 于是 或 （1）当 时， 此时 （2）当 时， 为什么角C有两个角？ 探求：在△ABC中，已知a，b和A解三角形时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 无解 一解 二解 一解 一解 无解 a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b a≥b a>b a≤b “已知两边和其中一边的对角”解三角形问题。 则问题无解 则问题有一解 则问题有两解或一解 “三角形内角和定理”或“大边对大角”性质判断解的个数 正弦定理： 利用正弦定理可以解决的问题： 1、已知三角形的任意两角与一边，求其他两边和另一角。 2、已知三角形的两边与其中一边的对角，出三角形的其他的边和角。 如果出现两个解，根据“三角形中大边对大角”来决定取舍！ 课堂小结 达标检测 17 C C 18 1 19 20 21 1．判断正误 (1)正弦定理不适用直角三角形．(　　) (2)在△ABC中，bsin A＝asin B总成立．(　　) (3)在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√ 2．在△ABC中，若sin A>sin B，则有(　　) A．a<b B．a≥b C．a>b D．a，b的大小无法判定 3．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝eq \r(2)，b＝eq \r(3)，B＝60°，那么A等于(　　) A．135°　　　B．90°　　　C．45°　　　D．30° 4．在△ABC中，A＝eq \f(2π,3)，a＝eq \r(3)c，则eq \f(b,c)＝ . 【解析】由eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)得sin C＝eq \f(csin A,a)＝eq \f(1,\r(3))×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,2)， 又0<C<eq \f(π,