2019-2021学年北京重点校高二上学期期中数学汇编：双曲线及其方程

2019-2021北京重点校高二（上）期中数学汇编 双曲线及其方程 一、单选题 1．（2021·北京·牛栏山一中高二期中）焦点坐标为，，实轴长为6，则此双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2021·北京八十中高二期中）已知双曲线的一个焦点为，则双曲线C的渐近线方程为（       ） A． B． C． D． 3．（2021·北京市陈经纶中学高二期中）已知双曲线的一条渐近线为，且一个焦点坐标是，则双曲线的标准方程是（     ） A．=1 B．=1 C．=1 D．=1 4．（2021·北京八十中高二期中）把离心率的曲线称之为黄金双曲线．若以原点为圆心，以虚半轴长为半径画圆，则圆与黄金双曲线（       ） A．无交点 B．有1个交点 C．有2个交点 D．有4个交点 5．（2020·北京·首都师范大学附属中学高二期中）双曲线的方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2020·北京·首都师范大学附属中学高二期中）双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2020·北京·人大附中高二期中）已知点P是双曲线的右支上一点，为双曲线E的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（     ） A．点P的横坐标为 B．的周长为 C．大于 D．的内切圆半径为 三、填空题 8．（2021·北京·汇文中学高二期中）已知为双曲线的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为_______. 9．（2020·北京·人大附中高二期中）已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率为________. 10．（2019·北京·清华附中高二期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________． 四、双空题 11．（2019·北京八十中高二期中）已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________． 五、解答题 12．（2021·北京·牛栏山一中高二期中）双曲线：的两条渐近线互相垂直，右焦点为. (1)直接写出两条渐近线方程及双曲线的离心率； (2)若右焦点到渐近线的距离为2，求. 参考答案 1．D 【分析】根据条件可得，，然后可得答案. 【详解】因为焦点坐标为，，实轴长为6， 所以，，所以 所以此双曲线的标准方程为 故选：D 2．D 【分析】利用双曲线的性质即可求解. 【详解】由题得，则 ， 即，所以双曲线的渐近线方程为 ， 即 ， 故选：D 3．B 【分析】根据焦点位置及渐近线方程直接写出双曲线方程即可. 【详解】由题设，双曲线实轴为x轴，且渐近线为， ∴双曲线的标准方程是. 故选：B 4．D 【详解】由题意知，所以，因为，所以，所以，所以圆与黄金双曲线的左右两支各有2个交点，即圆与黄金双曲线由4个交点，故选：D. 5．B 【解析】根据双曲线的方程，得出，，进而可求出离心率. 【详解】因为双曲线的方程为， 所以，，因此， 所以离心率为. 故选：B. 6．C 【解析】根据双曲线方程，得出顶点坐标，以及渐近线方程，由点到直线距离公式，即可得出结果. 【详解】因为双曲线的顶点为， 渐近线方程为，即， 所以顶点到渐近线的距离为. 故选：C. 7．ABD 【分析】设的内心为，连接，设，利用的面积为20，可求得P点坐标；的周长为，借助P点坐标，可得解；利用，可求得，可研究范围；可求得内切圆半径r. 【详解】设的内心为，连接， 双曲线：中的，，， 不妨设，，， 由的面积为20，可得，即， 由，可得，故A符合题意； 由，且，， 则， 则的周长为，故B符合题意； 可得，， 则， 则，故C不符合题意； 设的内切圆半径为，可得， 可得，解得，故D符合题意． 故选：ABD． 【点睛】本题关键借助P点坐标利用弦长公式求得周长，利用斜率求得夹角，用等积法求得内切圆半径. 8．1 【解析】求出双曲线的，，，可设，可得双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到． 【详解】双曲线的，，， 则可设， 设双曲线的一条渐近线方程为， 则到渐近线的距离为， 故答案为：1． 9． 【详解】试题分析：根据双曲线的渐近线的方程知即，所以此双曲线的离心率. 考点：双曲线的标准方程、渐近线方程和离心率. 10．2. 【分析】通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率. 【详解】如图， 由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有， 又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为． 【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，