2019-2021学年北京重点校高二上学期期末数学汇编：空间角和距离

2019-2021北京重点校高二（上）期末数学汇编 空间角和距离 一、单选题 1．（2019·北京师大附中高二期末）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2019·北京·101中学高二期末）正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1－B1的大小是__________． 三、解答题 3．（2021·北京市十一学校高二期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD，ABCD是直角梯形，，，，，点E是PB的中点， （1）证明：平面平面PBC； （2）若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为. （i）求三棱锥的体积： （ii）求二面角的余弦值. 4．（2019·北京·101中学高二期末）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=，EF=1，BC=，且M是BD的中点． （1）求证：EM∥平面ADF； （2）求二面角D－AF－B的余弦值； （3）在线段ED上是否存在一点P，使得BP∥平面ADF?若存在，求出EP的长度；若不存在，请说明理由． 5．（2019·北京师大附中高二期末）如图所示，在正四棱柱中，，点E、F分别是棱BC、DC的中点. （1）求证：BD∥平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 6．（2020·北京·101中学高二期末）已知三棱锥（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形为边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥中： (I)证明：平面平面; (Ⅱ)求二面角的余弦值； (Ⅲ)若点在棱上，满足，，点在棱上，且，求的取值范围． 7．（2020·北京·中央民族大学附属中学高二期末）在直三棱柱中，，，D为线段AC的中点. （1）求证：： （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）求二面角的余弦值. 8．（2020·北京·首都师范大学附属中学高二期末）在四棱锥的底面ABCD中，，，平面ABCD，O是AD的中点，且． （1）求证：平面POC； （2）求二面角的余弦值． 9．（2020·北京·北大附中高二期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，|AB|＝|PA|＝1，F是PB的中点，E为BC上一点． (1)求证：AF⊥平面PBC； (2)若|BE|＝，求直线PB和直线DE所成角的余弦值； (3)当BE为何值时，直线DE与平面AFC所成角为45°？ 10．（2021·北京·北师大实验中学高二期末）如图1，梯形中，为中点.将沿翻折到的位置，如图2. （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）设分别为和的中点，试比较三棱锥和三棱锥（图中未画出）的体积大小，并说明理由. 11．（2021·北京二十中高二期末）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝2，OB＝1．△AOC可以通过△AOB以直线AO为轴旋转得到，且OB⊥OC，动点D在斜边AB上． （1）求证：平面COD⊥平面AOB； （2）当D为AB的中点时，求二面角B﹣CD﹣O的余弦值； （3）求CD与平面AOB所成的角中最大角的正弦值． 12．（2021·北京·北师大实验中学高二期末）如图，在四棱锥中，，，，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）在棱上是否存在一点E，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 13．（2021·北京·人大附中高二期末）如图，在四棱锥中，平面平面分别为线段的中点．四边形是边长为1的正方形，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）点N在直线上，若平面平面，求线段的长． 14．（2021·北京·清华附中高二期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E为棱上的点，且. （1）若F为棱的中点，求证：平面； （2）（i）求证平面； （ii）设Q为棱上的点(不与C，P重合)，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 15．（2021·北京·北师大实验中学高二期末）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，AB = 2BC =4 ，四边形CDEF是等腰梯形，EF//DC ，EF = 2，且平面ABCD⊥平面CDEF，AF⊥ CF. （1）过BD与AF平行的平面与CF交于点G.求证：G为CF的中点； （2）求二面角B- AF-D的余弦值. 16．（2021·北京八中高二期末）如图所示，在四棱柱中，侧棱底面，，且点M和N分别为和的中点． (1)求证：∥平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在棱上是否存在点E，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在试求出点E的位置