2019-2021学年北京高二上学期期中数学汇编：空间向量的的应用

2019-2021北京高二（上）期中数学汇编 空间向量的的应用 一、单选题 1．（2020·北京丰台·高二期中）已知平面的一个法向量为，且，则点A到平面的距离为（       ） A． B． C． D．1 2．（2021·北京海淀·高二期中）过点且与向量垂直的向量（       ） A．有且只有一个 B．有无数个且共面 C．只有两个且方向相反 D．有无数个且共线 3．（2021·北京海淀·高二期中）若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面的夹角为，则下列关系式成立的是 A． B． C． D． 二、填空题 4．（2021·北京海淀·高二期中）平面的法向量为，若向量，则直线与平面的位置关系为________． 三、解答题 5．（2019·北京海淀·高二期中）如图，平面，，. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长. 6．（2020·北京丰台·高二期中）如图，在直三棱柱中，，，. 是的中点，是的中点，点在线段上，且，是与的交点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由. 7．（2020·北京丰台·高二期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，. （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角. 8．（2021·北京通州·高二期中）在空间直角坐标系中，已知向量，，． (1)求向量在向量上的投影向量； (2)求平面的法向量； (3)求点到平面的距离． 9．（2021·北京通州·高二期中）在棱长为2正方体中，，分别为和的中点，为上的动点，平面与棱交于点． (1)求证：点为中点； (2)求证：； (3)当为何值时，与平面所成角的正弦值最大，并求出最大值． 10．（2021·北京通州·高二期中）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，，分别为和的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 11．（2021·北京海淀·高二期中）如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且． (1)分别求出与底面、棱所成的角的大小； (2)在棱上确定一点，使，并求出二面角的平面角的余弦值． 12．（2021·北京海淀·高二期中）在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点． （1）证明：AC⊥SB； （2）求二面角N-CM-B的正切值大小； （3）求点B到平面CMN的距离． 参考答案 1．B 【解析】 直接由点面距离的向量公式就可求出． 【详解】 ∵， ∴，又平面的一个法向量为， ∴点A到平面的距离为 故选：B 2．B 【解析】 以向量为法向量，且过点的平面有且只有一个，设为平面，则平面中过点的向量都符合题意，从而得到结果． 【详解】 由题意可知，以向量为法向量，且过点的平面有且只有一个，设为平面， 则平面内过点的向量都与向量垂直，这样的向量有无数个且共面， 故选：B． 3．D 【解析】 根据线面角的正弦值的计算公式，判断出正确选项. 【详解】 由于直线与平面的夹角为， 其中， 所以， 所以. 故选：D 【点睛】 本小题主要考查线面角的正弦值的向量求法，属于基础题. 4．平面或平面 【解析】 根据题意，分平面和平面两种情况讨论，分别得到直线与平面的位置关系即可． 【详解】 由题意，平面的法向量为，向量， 若平面，则成立，若平面，则平面， ∴直线与平面的位置关系为平面或平面， 故答案为：平面或平面． 5．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ） 【解析】 首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系 (Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行； (Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可； (Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可得CF的长度. 【详解】 依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)， 可得. 设，则. (Ⅰ)依题意，是平面ADE的法向量， 又，可得， 又因为直线平面，所以平面. (Ⅱ)依题意，， 设为平面BDE的法向量， 则，即， 不妨令z=1，可得， 因此有. 所以，直线与平面所成角的正弦值为. (Ⅲ)设为平面BDF的法向量，则，即. 不妨令y=1，可得. 由题意，有，解得. 经检验，符合题意｡ 所以，线段的长为. 【点睛】 本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力. 6．（1）证明见详解；（2）存在，在靠近点的处. 【解析】 （1）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一