2023年九年级数学中考复习 圆综合压轴题 专题训练

2022-2023学年九年级数学中考复习《圆综合压轴题》专题训练（附答案） 1．如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且∠PCA＝∠CBD． （1）求证：PC为⊙O的切线； （2）若PC＝2BO，PB＝12，求⊙O的半径及BE的长． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作MN⊥AC，垂足为M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN，垂足为G，连接CN． （1）求证：直线MN是⊙O的切线； （2）求证：BD2＝AC•BG； （3）若BN＝OB，求tan∠ANC的值． 3．如图，在⊙C中，ED为直径，点A为直径ED延长线上一点，点B为⊙C上一点，连接AB，且AB为⊙C切线，连接BD，BE． （1）如图1，当AB＝8，ED＝12时，求AE的长； （2）如图2，若tan∠BAE＝，作∠BAE的平分线AF，且与BE交于点F；若AF＝2，求⊙C的半径． 4．如图，已知等腰△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与BC交于点E，与AC交于点D． （1）求证：AD＝ED； （2）若AC＝6． ①设CE＝x，⊙O的半径为r，求r关于x的函数表达式． ②当x＝r时，求图中阴影部分的面积． 5．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 下面是弦切角定理的部分证明过程： 证明：（1）如图1，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在弦AC上时，容易得到∠CAB＝90°，所以弦切角∠BAC＝∠D＝90°． （2）如图2，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在∠BAC的外部时，过点A作直径AF交⊙O于点F，连接FC． ∵AF是直径， ∴∠ACF＝90°， ∴∠CFA+∠FAC＝90°． ∵AB与⊙O相切于点A， ∴∠FAB＝90°， ∴∠CAB+∠FAC＝90°， ∴∠CAB＝∠CFA． （1）如图3，AB与⊙O相切于点A，当圆心O在∠BAC的内部时，过点A作直径AD交⊙O于点D，在上任取一点E，连接EC，ED，EA，求证：∠CEA＝∠CAB； （2）如图3，已知⊙O的半径为1，弦切角∠CAB＝130°，求的长． 6．如图1，直径AB⊥CD于点E，AB＝10，CD＝8，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连结AP交⊙O于点Q，连结AC，CQ． （1）求证：∠P＝∠ACQ． （2）如图2，连结DQ，当DP＝2时，求△ACQ和△CDQ的面积之比． （3）当四边形ACDQ有两边相等时，求DP的长． 7．已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，连结BE． （1）如图①，若∠BAC＝40°，求∠CBE的度数； （2）如图②，当∠A为锐角时，证明∠BAC＝2∠CBE； （3）若②中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图③，CA的延长线与⊙O交于E，请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与（2）中关系相同？若相同，请加以证明，若不同，请找出其它关系，并证明． 8．如图，已知，四边形ABCD内接于⊙O，且∠DCB＝∠A+∠ADC． （1）求证：①∠B＝2∠A； ②若AD为直径，则AB＝BC． （2）已知⊙O的半径为5，四边形ABCD有一个角为60°，且BC＝CD，求四边形ABCD的面积． （3）设AB＝m，BC＝n，CD＝p，AD＝q，探究并用等式表示m，n，p，q的数量关系． 9．如图，⊙O是四边形的外接圆，直径为10，过点D作DP⊥AB，交BA的延长线于点P，AD平分∠PAC． （1）如图1，若AC是⊙O的直径，求证：PD与⊙O的相切； （2）若AC是⊙O的直径，＝，求∠PDC的度数． （3）如图2，若BC＝CD，求AB+AD的最大值． 10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF． （1）求∠CDE的度数； （2）求证：DF是⊙O的切线； （3）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值． 11．如图；已知四边形ABCD内接于⊙O，直径DF交BC于点G． （1）如图1，求证：∠BAD﹣∠BCF＝90°； （2）如图2，连接AC，当∠BAC＝∠CFD+∠ACD时，求证：CA＝CB； （3）如图3，在（2）的条件下，AC交DF于点H，∠BAC＝∠DGB，，AC＝9，CD＝6，求△CDH的面积． 12．如图1，点B，C是以AD为直径的半圆⊙O上的两点，过点C作射线AB的垂线，交射线AB于点E，连接BC，AC，