2021-2022学年北京高二数学上学期期末汇编：直线与方程（解答题）

2021北京高二数学上学期期末汇编：直线与方程（解答题） 一、解答题 1．（2021·北京石景山·高二期末）已知三角形ABC的三个顶点是A(1，1)，B(-1，3)，C(3，4). （1）求边BC的高所在直线l1的方程； （2）若直线l2过点C，且A､B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程. 2．（2021·北京师范大学第三附属中学高二期末）设点关于轴的对称点为，求过点且与直线垂直的直线的方程． 3．（2021·北京市育英学校高二期末）已知圆的圆心在轴上，且经过点，. （1）求线段的垂直平分线方程； （2）求圆的标准方程； （3）已知直线：与圆相交于、两点，且，求直线的方程. 4．（2021·北京·高二期末）已知直线：与直线：，. （1）若，求a的值； （2）求证：直线与圆恒有公共点； （3）若直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，且为直角三角形，求a的值. 5．（2021·北京房山·高二期末）已知直线过点，再从下列条件①、条件②、条件③这三个条件中任意选择一个作为已知，求直线的方程. 条件①：直线经过直线与 的交点； 条件②：直线与圆相切； 条件③：直线与坐标轴围成的三角形的面积为． 6．（2021·北京·中国农业大学附属中学高二期末）方程表示的曲线经过点、. （1）求出、的值； （2）若直线与曲线相交于点、，求线段的长. 7．（2021·北京市第十二中学高二期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． （1）求点的坐标和抛物线的准线方程； （2）设为坐标原点，过点的直线交抛物线于点，再从条件①的中点为；②的中点为，这两个条件中选择一个作为已知，求的面积． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 8．（2021·北京东城·高二期末）已知椭圆的离心率为，A，B为椭圆的左右顶点，过其右焦点的直线l交椭圆C于不同的两点M，N(异于A，B两点). （1）求椭圆C的方程； （2）设直线AM，BN的斜率分别为和，求的值： 9．（2021·北京市第十二中学高二期末）已知椭圆过点，且． （1）求椭圆的方程； （2）设为坐标原点，椭圆的左、右顶点分别为，，过点的直线交椭圆于点，，直线交直线于点，求证：． 2021北京高二数学上学期期末汇编：直线与方程（解答题） 参考答案 1．（1）；（2）或. 【分析】 （1）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出． （2）利用斜率计算公式、中点坐标公式、直线平行的性质、点斜式即可得出． 【详解】 （1），， 直线的方程是，即． （2）直线过点且、到直线的距离相等， 直线与平行或过的中点， ，直线的方程是，即， 的中点的坐标为， ，直线的方程是，即， 综上，直线的方程是或． 2． 【分析】 求出点的坐标以及直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】 易知点的坐标为，直线的斜率为，故直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 3．（1）；（2）；（3）． 【分析】 （1）利用垂直平分关系得到斜率及中点，从而得到结果； （2）设圆的标准方程为，结合第一问可得结果； （3）由题意可知：圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得结果. 【详解】 解：（1） 设的中点为，则． 由圆的性质，得，所以，得. 所以线段的垂直平分线的方程是. (2) 设圆的标准方程为，其中，半径为（）. 由圆的性质，圆心在直线上，化简得．所以 圆心， ， 所以 圆的标准方程为． (3)设为中点，则，得．设圆心到直线的距离. 又，解得，所以直线的方程为． 【点睛】 方法点睛：圆内一点为弦的中点时，则此点与圆心的连线和弦所在的直线垂直；解决圆的弦长有关问题，注意弦长一半、弦心距、半径构成的直角三角形的三边的勾股数之间的关系． 4．（1）；（2）证明见详解；（3）. 【分析】 （1）根据两直线平行，可直接得出的值； （2）求出直线所过定点在圆上，即可证明结论成立； （3）根据题中条件，由为直角三角形，得到为斜边，且，由点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，再由圆的几何法表示出弦长，列出等量关系求解，即可得出的值. 【详解】 （1）因为直线：的斜率为， 又，直线：，所以，则； （2）由，令可得，所以直线过定点， 因为显然满足，即点在圆上， 所以直线与圆恒有公共点； （3）因为圆的圆心为，半径为， 又直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，为直角三角形，所以，则为斜边，且， 又圆心到直线的距离为显然恒成立， 根据圆的性质可得：， 所以，解得. 【点睛】 关键点点睛： 求解本题第三问的关键在于根据圆的性质，以及题中条件，确定为的斜边，并得到的长度，再结合点到直线距离公式，以及弦长公式，即可