2021-2022学年北京高二数学上学期期末汇编：圆及其方程（解答题2）

2021北京高二数学上学期期末汇编：圆及其方程（解答题2） 一、解答题 1．（2021·北京·高二期末）已知圆过原点和点，圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）直线经过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 2．（2021·北京石景山·高二期末）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，求圆的方程． 3．（2021·北京昌平·高二期末）已知两点及圆.为经过点的一条动直线. （1）若直线经过点，求证：直线与圆相切； （2）若直线与圆相交于两点从下列条件中选择一个作为已知，求的面积． 条件①：直线平分圆；条件②：直线的斜率为． 4．（2021·北京市育英学校高二期末）已知圆的圆心在轴上，且经过点，. （1）求线段的垂直平分线方程； （2）求圆的标准方程； （3）已知直线：与圆相交于、两点，且，求直线的方程. 5．（2021·北京·高二期末）已知直线：与直线：，. （1）若，求a的值； （2）求证：直线与圆恒有公共点； （3）若直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，且为直角三角形，求a的值. 6．（2021·北京房山·高二期末）已知直线过点，再从下列条件①、条件②、条件③这三个条件中任意选择一个作为已知，求直线的方程. 条件①：直线经过直线与 的交点； 条件②：直线与圆相切； 条件③：直线与坐标轴围成的三角形的面积为． 7．（2021·北京·人大附中高二期末）在平面直角坐标系中，已知定点，的外接圆为圆M，直线的方程为． （Ⅰ）求圆M的方程； （Ⅱ）若直线与圆M相切，求k的值； （Ⅲ）若直线与圆M相交于两点，，求k的值． 2021北京高二数学上学期期末汇编：圆及其方程（解答题2） 参考答案 1．（1）；（2）或． 【分析】 （1）设圆的圆心坐标为，列出方程，求得，进而求得半径，即可求得圆的方程； （2）依题意，显然直线符合题意；当直线的斜率存在时，设其方程为，结合圆心到直线的距离等于，列出方程，即可求解. 【详解】 （1）由题意，圆心在直线上，设圆的圆心坐标为． 可得， 解得． 从而圆的半径为， 所以圆的方程为． （2）依题意，圆的圆心到直线的距离为， 显然直线符合题意． 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 因为直线被圆截得的弦长为，即，即圆心到直线的距离为，则，解得， 所以直线的方程为， 综上可得，直线的方程为或． 2． 【分析】 根据题意求出曲线与坐标轴的交点，设出圆的一般式方程，代入求出相关量即可得出圆的方程. 【详解】 解：曲线与轴的交点为 与轴的交点为， 设圆的方程为， ，则，解得. 故圆的方程为． 【点睛】 求圆的方程的两种方法： （1）几何法:根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程； （2）待定系数法:①根据题意，选择标准方程与一般方程； ②根据条件列出关于或的方程组； ③解出或，代入标准方程或一般方程. 3．（1）证明见解析；（2）条件①：；条件②：. 【分析】 根据题意，圆心，半径． （1）方法一：求出直线和的斜率，求出，可得，即可证明结果； 法二：求出直线的方程，根据点到直线的距离等于半径，即可证明结果； （2）选择条件①：直线平分圆，可得直线的方程，根据点到直线的距离求出点到直线的距离根据面积公式即可求出结果； 选择条件②：直线的斜率为，求出直线的方程，根据点到直线的距离求出点到直线的距离根据面积公式即可求出结果. 【详解】 解：根据题意，圆心，半径． （1）法一： 若直线经过点，由满足，可知，点在圆上. 直线的斜率，所以. 所以直线与圆相切. 法二：若直线经过点，则直线的方程为. 圆心到直线的距离为 所以直线与圆相切. （2）选择条件①：直线平分圆， 此时，直线过圆心，方程为 点到直线的距离 所以， 选择条件②：直线的斜率为，直线的方程为 此时，圆心在直线上， 点到直线的距离 所以， 4．（1）；（2）；（3）． 【分析】 （1）利用垂直平分关系得到斜率及中点，从而得到结果； （2）设圆的标准方程为，结合第一问可得结果； （3）由题意可知：圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得结果. 【详解】 解：（1） 设的中点为，则． 由圆的性质，得，所以，得. 所以线段的垂直平分线的方程是. (2) 设圆的标准方程为，其中，半径为（）. 由圆的性质，圆心在直线上，化简得．所以 圆心， ， 所以 圆的标准方程为． (3)设为中点，则，得．设圆心到直线的距离. 又，解得，所以直线的方程为． 【点睛】 方法点睛：圆内一点为弦的中点时，则此点与圆心的连线和弦所在的直线垂直；解决圆的弦长有关问题，注意弦长