题型小卷27 “21—22”解答题-【精彩三年】2023高考数学汇编与名师优创选填解答题型28卷教师用书word

题型小卷27　“21—22”解答题(见学生用书P53) [限时：30分钟　满分：24分] 解答题：本题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (12分)设F1，F2是双曲线C：－＝1的左、右两个焦点，O为坐标原点，若点P在双曲线C的右支上，且＝＝2，△PF1F2的面积为3. (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)若双曲线C的两顶点分别为A1，A2，过点F2的直线l与双曲线C交于M，N两点，试探究直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线方程；若不是，请说明理由． 解：(1)由＝＝2得c＝2，且PF1⊥PF2， 所以 ＋＝4c2＝16＝＋2，即4a2＋12＝16，解得a＝1. 又a2＋b2＝c2＝4，所以b＝， 故双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x. (2)由(1)可知双曲线的方程为x2－＝1. ①当直线l的斜率不存在时，M，N，直线A1M的方程为y＝x＋1，直线A2N的方程为y＝－3x＋3，联立直线A1M与直线A2N的方程可得Q； ②当直线l的斜率存在时，易得直线l不和渐近线平行，且斜率不为0，设直线l的方程为y＝k，M，N， 联立得x2＋4k2x－4k2－3＝0， ∴Δ>0，x1＋x2＝，x1x2＝， ∴直线A1M的方程为y＝(x＋1)，直线A2N的方程为y＝(x－1)， 联立直线A1M与直线A2N的方程，可得 ＝， 两边平方得＝. 又M，N满足x2－＝1， ∴＝＝ ＝ ＝＝＝9， ∴＝9，∴x＝，或x＝2(舍去). 综上，点Q在定直线上，且定直线方程为x＝. (12分)已知函数f(x)＝mx3－mx－x ln x(m∈R). (1)若f(x)导函数为g(x)，试讨论g(x)的单调性； (2)若f(x)＋>1对任意的x∈(1，＋∞)恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)由已知g(x)＝f′(x)＝3mx2－m－ln x－1，则g′(x)＝6mx－＝(x>0)， ①当m≤0时，g′(x)<0，得g(x)在上单调递减； ②当m>0时，令g′(x)＝＝<0⇒0<x<， 得g(x)在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当m≤0时，函数g(x)在上单调递减； 当m>0时，函数g(x)在上单调递减，在上单调递增． (2)f(x)＋>1对∀x∈(1，＋∞)恒成立，即mx3－mx－x ln x＋>1对∀x∈恒成立， 整理得mx2－m－ln x＋e1－x－>0对∀x∈(1，＋∞)恒成立．令h(x)＝mx2－m－ln x＋e1－x－， 则h′(x)＝2mx－－e1－x＋，注意到h＝0， 而h′＝2m－1， 所以h′≥0⇒m≥. ①当m≥时，因为x>1，故有 h(x)＝m－ln x＋e1－x－≥－ln x＋e1－x－. 记φ(x)＝－ln x＋e1－x－，则φ′(x)＝x－－e1－x＋. 利用ln x≤x－1(证明略)，得－ln ≤x－1⇒ln ≥1－x⇒eln ＝≥e1－x， 所以φ′(x)＝x－－e1－x＋≥x－＋＝＝>0， 所以φ(x)在上单调递增，故φ(x)>φ＝0， 所以f(x)＋>1对任意的x∈恒成立． ②当m<时，根据①中的放缩得， h(x)<m＋＋－ ＝m＋＝ ＝. (i)若m≤0时，h(x)<0，不成立； (ii)若0<m<时，当x∈时，h(x)<0不符合题意． 综上所述，实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $