题型小卷24 “17—20”解答题-【精彩三年】2023高考数学汇编与名师优创选填解答题型28卷教师用书word

题型小卷24　“17—20”解答题(见学生用书P47) [限时：45分钟　满分：46分] 解答题：本题共4小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (10分)已知数列的前n项和为Sn，且a1＝1，an＝－2Sn－1Sn. (1)求an； (2)设bn＝，求数列的前n项和Tn. 解：(1)∵an＝－2Sn－1Sn， ∴Sn－Sn－1＝－2Sn－1Sn， ∴Sn－1－Sn＝2SnSn－1， ∴－＝2， ∴数列为等差数列，且＝＋2＝1＋2n－2＝2n－1. 又∵当n＝1时，a1＝S1＝2×1－1＝1， ∴Sn＝， ∴an＝ (2)∵＝2n－1，∴bn＝2n. ∴Tn＝1×21＋3×22＋…＋2n－1＋2n， 2Tn＝1×22＋3×23＋…＋2n＋2n＋1， 两式相减得－Tn＝2＋23＋24＋…＋2n＋1－2n＋1， ＝2＋－2n＋1， ＝2－8＋2n＋2－2n＋1， ＝－6－2n＋1， ∴Tn＝2n＋1＋6. (12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝2，面积为S，且b cos ＝S. (1)求角A的大小； (2)当a取最小值时，求△ABC的周长和面积． 解：(1)∵b cos ＝S，∴b cos ＝bc sin A＝b sin A， ∴cos ＝sin A＝2sin cos . ∵cos ≠0，∴sin ＝. 又∵0<<，∴＝，∴A＝. (2)在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，a＝. ∵A＋B＋C＝π，A＝，∴C∈. 当sin C＝1时，C＝，a有最小值. 此时B＝，b2＝c2－a2＝1，b＝1. 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋，面积为S＝ab＝. (12分)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，AA1＝AB＝2. (1)求证：A1C⊥AB1. (2)若三棱锥B1­A1AC的体积为，求二面角A1­B1C­A的大小． 解：(1)证明：连接A1B(图略)， 由三棱柱ABC­A1B1C1为直三棱柱可得BB1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以BB1⊥BC. 因为BC⊥AB，AB∩BB1＝B，AB，BB1⊂平面AA1B1B， 所以BC⊥平面AA1B1B. 因为AB1⊂平面AA1B1B，所以BC⊥AB1. 因为AA1＝AB＝2，所以四边形AA1B1B是正方形， 所以AB1⊥A1B. 又因为BC∩A1B＝B，BC，A1B⊂平面A1BC， 所以AB1⊥平面A1BC. 因为A1C⊂平面A1BC，所以A1C⊥AB1. (2)由(1)得BC⊥平面AA1B1B， 所以点C到平面AA1B的距离为BC的长． 所以VB1­A1AC＝VC­AA1B1＝×A1B1·AA1·BC＝BC＝，解得BC＝. 因为BA，BC，BB1两两垂直，所以以B为原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图， 则A，A1， B1，C， 设平面AB1C的一个法向量为m＝， 因为＝， AB1＝， 则 令x1＝，则m＝. 设平面A1B1C的一个法向量为n＝， 因为A1C＝，A1B1＝， 则 令x2＝，则n＝. 设二面角A1­B1C­A的平面角为θ，根据几何体特征可知θ为锐角， 所以cos θ＝＝＝＝， 所以二面角A1­B1C­A的大小为. (12分)为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制了频率分布直方图，如图所示．试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只．假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立． (1)填写下面的2×2列联表(单位：只)，并根据列联表及α＝0.05的独立性检验，判断小白鼠产生抗体与指标值是否有关联； 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 (2)为检验疫苗二次接种的抗体免疫性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体． ①用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p； ②以①中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X.试验后统计数据显示，当X＝90时，P(X)取最大值，求参加人体接种试验的人数n及E(X). 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 解：(1)由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布： 在内有0.002 5×20×200＝10(只)； 在内有0.006 25×20×2