题型小卷23 “17—20”解答题-【精彩三年】2023高考数学汇编与名师优创选填解答题型28卷教师用书word

题型小卷23　“17—20”解答题(见学生用书P45) [限时：45分钟　满分：46分] 解答题：本题共4小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (10分)已知数列满足a2＝，an－an＋1＝3anan＋1. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. 解：(1)因为an－an＋1＝3anan＋1，a2＝， 令n＝1，则a1－a2＝3a1a2，即a1－＝a1，解得a1＝1. 由题意知an≠0，由an－an＋1＝3anan＋1，两边同除以anan＋1，得－＝3， 所以数列是首项为＝1，公差为3的等差数列， 所以＝＋3(n－1)＝3n－2，即an＝. (2)由(1)及已知条件可得anan＋1＝＝， 所以Tn＝＋＋…＋ ＝ ＝＝. (12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝c－b. (1)求B﹔ (2)若＋＝4，求的值． 解：(1)由＝c－b，可得a(sin C－sin A)＝(c－b)(sin C＋sin B). 由正弦定理得a(c－a)＝(c－b)(c＋b)， 即a2＋c2－b2＝ac. 由余弦定理得cos B＝＝. 因为0<B<π，可得B＝. (2)因为sin ＝sin ＝sin B， 所以＋＝＝·＝·＝·＝4. 又B＝，可得b2＝2ac.又由(1)知a2＋c2－b2＝ac，得a2＋c2－3ac＝0，所以－3＋1＝0，所以＝，所以＝. (12分)如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝CD＝2，AB＝4，E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，连接AB，AC，得到如图2的几何体． (1)求证：AC⊥DE. (2)若四棱锥A­BCDE的体积为2，求平面ACE与平面ADE所成锐二面角的余弦值． 解：(1)证明：在题图1中，连接CE(图略)，因为DC∥AB，CD＝AB，E为AB的中点，所以DC∥AE，DC＝AE，所以四边形ADCE为平行四边形，所以AD＝CE＝CD＝AE＝2，同理可证DE＝2. 在题图2中，取DE的中点O，连接OA，OC(图略)，则OA＝OC＝. 因为AD＝AE＝CE＝CD，所以DE⊥OA，DE⊥OC. 因为OA∩OC＝O，所以DE⊥平面AOC. 因为AC⊂平面AOC，所以DE⊥AC. (2)如图1，因为DE⊥平面AOC，DE⊂平面BCDE， 所以平面AOC⊥平面BCDE且交线为OC.过点A作AH⊥OC， 则AH⊥平面BCDE. 因为S四边形BCDE＝2， 所以四棱锥A­BCDE的体积VA­BCDE＝2＝×2×AH， 所以AH＝＝OA，所以AO与AH重合，所以AO⊥平面BCDE. 如图2，以O为坐标原点，CO，OE，OA分别为x轴、y轴、z轴建立如图2所示的空间直角坐标系，则O，C， E，A， 平面ADE的一个法向量为＝.设平面AEC的一个法向量为n＝， 因为＝，＝， 所以令x＝1，得n＝. 设平面ACE与平面ADE所成锐二面角的大小为θ， 则cos θ＝＝＝， 所以平面ACE与平面ADE所成锐二面角的余弦值为. (12分)某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表： 年份t 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码x(x＝t－2016) 1 2 3 4 5 销量y/万辆 10 12 17 20 26 (1)统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性经验回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆； (2)为了解购车车主的性别与购车种类(分为新能源汽车与传统燃油汽车)的情况，该企业随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本，其中男性车主中购置传统燃油汽车的有w位，购置新能源汽车的有45位，女性车主中有20位购置传统燃油汽车． ①若w＝95，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用(1)中的线性经验回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数(假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人)； ②设男性车主中购置新能源汽车的概率为p，若将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为f(p)，求当w为何值时，f(p)最大． 附：＝x＋为经验回归方程，＝，＝y－x． 解：(1)由题意得x＝＝3， iyi＝295，＝＝17， ＝55，＝＝＝4， ＝y－x＝17－4×3＝5. y关于x的线性经验回归方程为＝4x＋5，令＝4x＋5>50，得x>11.25， 所以最小的整数为12，2016＋12＝2028， 所以该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆． (2)①由题意知，该地区200位购车车主中女性有200－95－45＝60(位)， 故其