题型小卷21 “17—20”解答题-【精彩三年】2023高考数学汇编与名师优创选填解答题型28卷教师用书word

题型小卷21　“17—20”解答题(见学生用书P41) [限时：45分钟　满分：46分] 解答题：本题共4小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (10分)已知数列满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝n. (1)求数列的通项公式； (2)设bn＝log3an，求数列的前n项和Tn. 解：(1)当n＝1时，a1＝3； 当n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋an＝n①， a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n－1②， ①－②，得an＝n－＝1，即an＝3n. 当n＝1时也成立，所以数列的通项公式为an＝3n. (2)因为bn＝log3an＝log33n＝n， 所以＝＝， 所以Tn＝＝ . (12分)在①b－c cos A＝a sin C，②＝，③＝这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并解答问题． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足____． (1)求C； (2)若△ABC的面积为，点D在边AC上，且CD＝CA，求BD的最小值． 解：(1)选条件①. 由b－c cos A＝a sin C，可得 b－c cos A＝a sin C， 由正弦定理得sin B－sin C cos A＝sin A sin C. 因为B＝π－(A＋C)，所以sin B＝sin (A＋C)， 所以sin A cos C＋cos A sin C－sin C cos A＝ sin A sin C， 故sin A cos C＝sin A sin C. 又sin A≠0，于是sin C＝cos C，即tan C＝. 因为C∈，所以C＝. 选条件②. 因为＝，所以由正弦定理及同角三角函数的基本关系得＝， 即＝＝， 因为A＋B＋C＝π， 所以B＋C＝π－A，sin (B＋C)＝sin A. 又sin A≠0，sin B≠0，所以cos C＝. 因为C∈，所以C＝. 选条件③. ＝，由正弦定理得＝， 即a2－c2＝ab－b2，所以a2＋b2－c2＝ab， 所以由余弦定理得cos C＝＝. 又C∈，所以C＝. (2)由题意知S△ABC＝ab sin C＝ab·＝， 得ab＝4. 由余弦定理得BD2＝a2＋－2a·cos C＝a2＋－ab≥2a·－ab＝ab＝， 当且仅当a＝b且ab＝4，即a＝，b＝2时取等号，所以BD的最小值为. (12分)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，D是AC的中点，且AB＝AA1＝2. (1)求证：AB1∥平面BC1D. (2)求平面B1AC1与平面BAC1夹角的余弦值． 解：(1)证明：连接B1C，交BC1于点E，连接DE，如图． 在三棱柱ABC­A1B1C1中，四边形BB1C1C为平行四边形，因为B1C∩BC1＝E，则E为B1C的中点． 又因为D为AC的中点，则AB1∥DE. 因为AB1⊄平面BC1D，DE⊂平面BC1D， 所以AB1∥平面BC1D. (2)因为△ABC为等边三角形，D为AC的中点，则BD⊥AC. 又因为AA1⊥平面ABC，以点D为坐标原点，，，AA1的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A，B，C， A1，B1，C1， 设平面B1AC1的一个法向量为m＝，AC1＝，C1B1＝， 则取x1＝1，可得m＝. 设平面BAC1的一个法向量为n＝， ＝，AC1＝， 则 取x2＝1，可得n＝， 所以cos 〈m，n〉＝＝－. 所以平面B1AC1与平面BAC1夹角的余弦值为. (12分)新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标．某车企随机调查了今年3月份购买本车企生产的汽车的100位车主，经统计其性别与购车种类情况如下表(单位：人)： 性别 购车种类 合计 新能源汽车 传统燃油汽车 男性 50 10 60 女性 25 15 40 合计 75 25 100 (1)根据表中数据，依据α＝0.025的独立性检验，能否认为性别与购车种类有关联？ (2)用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率，从该车企今年3月份售出的汽车中，随机抽取3辆汽车，设被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X，求X的分布列及数学期望． 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解：(1)零假设为H0：性别与购车种类无关联． 根据题意可得χ2＝＝>5.02