题型小卷20 “17—20”解答题-【精彩三年】2023高考数学汇编与名师优创选填解答题型28卷教师用书word

题型小卷20　“17—20”解答题(见学生用书P39) [限时：45分钟　满分：46分] 解答题：本题共4小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (10分)已知数列的首项a1＝，＝(n∈N*). (1)求证：数列为等比数列． (2)记Tn＝＋＋…＋，若Tn<20，求n的最大值． 解：(1)证明：由＝，可得＝＝＝＝. 又由a1＝，可得－2＝－≠0， 所以数列是首项为－，公比为的等比数列． (2)由(1)得－2＝·＝－，所以＝2－， 所以Tn＝＋＋…＋＝2n－＝2n－. 当n＝10时，可得T10＝20－<20； 当n＝11时，可得T11＝22－＝20＋2－＝20＋>20， 所以n的最大值为10. (12分)如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝2，cos B＝，点D在线段BC上． (1)若∠ADC＝，求AD的长； (2)若BD＝2DC，△ACD的面积为，求的值． 解：(1)在△ABC中，∵cos B＝，∴sin B＝. 在△ABD中，由正弦定理，得＝. 又AB＝2，∠ADB＝，sin B＝，∴AD＝. (2)∵BD＝2DC，∴S△ABD＝2S△ADC，S△ABC＝3S△ADC. 又S△ADC＝，∴S△ABC＝4. ∵S△ABC＝AB·BC sin ∠ABC，∴BC＝6. ∵S△ABD＝AB·AD sin ∠BAD，S△ADC＝AC·AD·sin ∠CAD，S△ABD＝2S△ADC， ∴＝. 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC. ∴AC＝4，∴＝＝4. (12分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是一个矩形，EF∥AC，AC＝2EF，AB＝AE＝2，AD＝4，∠BAE＝120°. (1)求证：AE∥平面BFD. (2)若平面EAB⊥平面ABCD，求平面EAB与平面FCD的夹角的余弦值． 解：(1)证明：设AC∩BD＝O，连接OF，如图．由于EF∥AO，EF＝AO，所以四边形EFOA是平行四边形，所以AE∥OF.由于AE⊄平面BFD，OF⊂平面BFD，所以AE∥平面BFD. (2)依题意，平面EAB⊥平面ABCD，∠BAE＝120°，以A为原点，以AB，AD所在直线分别为x，y轴，过点A且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设平面EAB的法向量为m＝，E，C，D，＝＋＝＋＝，＝，＝. 设平面FCD的一个法向量为n＝， 则 故可设n＝. 设平面EAB与平面FCD的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝. (12分)某大型企业组织全体员工参加体检，为了解员工的健康状况，企业相关工作人员从中随机抽取了40人的体检报告进行相关指标的分析，按体重“超标”和“不超标”得到列联表如下： 性别 体重 合计 超标 不超标 男 16 20 女 15 合计 (1)补全题目中的列联表，并依据小概率值α＝0.001的独立性检验，判断该企业员工的性别与体重是否有关联； (2)若以样本估计总体，用频率作为相应事件的概率，现从该大型企业的男、女员工中各随机抽取一名员工的体检报告，求抽到的两人中恰有一人体重超标的概率． 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)补全的列联表如下． 性别 体重 合计 超标 不超标 男 16 4 20 女 5 15 20 合计 21 19 40 零假设为H0：该企业员工的性别与体重无关联． 根据列联表中的数据，得χ2＝＝≈12.13>10.828＝x0.001. 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为该企业员工的性别与体重有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. (2)由题知，从男员工中随机抽取一人，体重超标的概率为，不超标的概率为；从女员工中随机抽取一人，体重超标的概率为，不超标的概率为. 所以所求概率P＝×＋×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $