题型小卷19 “17—20”解答题-【精彩三年】2023高考数学汇编与名师优创选填解答题型28卷教师用书word

题型小卷19　“17—20”解答题(见学生用书P37) [限时：45分钟　满分：46分] 解答题：本题共4小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (10分)已知等差数列，的公差分别为d1，d2，d1－d2＝1，a2－b2＝1，an＋bn＝7n－1. (1)求数列，的通项公式an，bn； (2)求中既在数列中，又在数列中的所有数之和． 解：(1)由an＋bn＝7n－1，可得a2＋b2＝13，联立a2－b2＝1，可得a2＝7，b2＝6①. 令n＝1，可得a1＋b1＝6，与a2＋b2＝13联立，可得d1＋d2＝7，与d1－d2＝1联立，解得d1＝4，d2＝3②. 由①②得an＝7＋(n－2)×4＝4n－1，bn＝6＋(n－2)×3＝3n. (2)设an＝bm，m，n∈N*，则4n－1＝3m，m，n∈N*， 得m＝. 由m，n∈N*，可得n＝{1，4，7，10，…}，即an＝{a1，a4，a7，a10，…}． 设是由数列，的公共项组成的数列， 则是首项为3，公差为12的等差数列，且ck＝12k－9. 在中有c1＝3，c2＝15，…，c9＝99， 所以的前9项和为S＝＝459. (12分)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2c sin A＝a. (1)求C； (2)若a＋2b＝6，且△ABC的面积为，求△ABC的周长． 解：(1)由正弦定理及已知得2sin C sin A＝sin A. ∵sin A≠0，∴sin C＝. 又∵△ABC为锐角三角形， ∴C∈，∴C＝. (2)由条件知ab sin C＝，∴ab＝4. 又a＋2b＝6， ∴或 当时，△ABC为等边三角形，故其周长为6； 当时，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝13，即c＝， 此时cos A＝<0，则A∈， 故此时△ABC为钝角三角形，不符合题意． 综上，△ABC的周长为6. (12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，M为线段PC的中点，PD＝AD，N为线段BC上的动点． (1)证明：平面MND⊥平面PBC. (2)当点N在线段BC的什么位置时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°？指出点N的位置，并说明理由． 解：(1)证明：因为PD⊥底面ABCD， BC⊂底面ABCD， 所以PD⊥BC. 因为CD⊥BC，CD∩PD＝D，所以BC⊥平面PCD. 因为DM⊂平面PCD，所以BC⊥DM. 因为四边形ABCD为正方形，PD＝AD， 所以PD＝CD. 因为在△PDC中，PD＝CD，M为线段PC的中点， 所以DM⊥PC. 因为PC∩BC＝C，所以DM⊥平面PBC. 因为DM⊂平面DMN， 所以平面MND⊥平面PBC. (2)当点N在线段BC的中点时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°，理由如下： 因为PD⊥底面ABCD，DA，DC⊂平面ABCD， 所以PD⊥DA，PD⊥DC. 因为DA⊥DC，所以DA，DC，DP两两垂直， 所以以D为原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 设PD＝AD＝1，则D(0，0，0)， A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，0，1)， C(0，1，0)，M. 设N(λ，1，0)(0<λ<1)，则＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)，＝(λ，1，0)，＝. 设m＝(x，y，z)为平面PAB的一个法向量， 则 令x＝1，则m＝(1，0，1). 设n＝(a，b，c)为平面MND的一个法向量， 则 令a＝1，则n＝(1，－λ，λ). 因为平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°， 所以＝＝＝， 化简得4λ2－4λ＋1＝0，得λ＝， 所以当点N在线段BC的中点时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°. (12分)现对某市工薪阶层对于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对“楼市限购令”赞成的人数如下表： 月收入 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 4 8 12 5 2 1 (1)根据以上统计数据完成下面的2×2列联表，并依据α＝0.025的独立性检验分析该市工薪阶层对于“楼市限购令”的态度与月收入是否有关联； 态度 月收入 合计 不低于65百元 低于65百元 赞成 不赞成 合计 (2)若对月收入在和的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查，求在选中的4人中有人不赞成的条件下，赞成“楼市限购令”的人数X的分布列及数学期望． 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.05 0.025 0.010 0.