题型小卷18 “17—20”解答题-【精彩三年】2023高考数学汇编与名师优创选填解答题型28卷教师用书word

题型小卷18　“17—20”解答题(见学生用书P35) [限时：45分钟　满分：46分] 解答题：本题共4小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (10分)在数列中，a1＝1，且n≥2，a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝an. (1)求的通项公式； (2)若bn＝，且数列的前n项和为Sn，求证：Sn<3. 解：(1)因为n≥2， a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝an， 所以当n≥3时，a1＋a2＋a3＋…＋an－2＝an－1， 两式相减，得an－1＝an－an－1，即an－1＝an， 当n＝2时，a2＝a1＝1， 所以当n≥3时，＝， 所以当n≥3时，an＝××…××a2＝××…××1＝. 当n＝2时，上式成立；当n＝1时，上式不成立， 所以an＝ (2)由(1)知bn＝ 当n≥2时，bn＝＝4， 所以当n＝1时，S1＝1<3； 当n≥2时，Sn＝1＋4＋4＋…＋4＝1＋4＝1＋4＝3－<3. 综上，Sn<3. (12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＋sin C＝0. (1)求角B的大小； (2)若BC边上的高为b－c，求sin A. 解：(1)由＋sin C＝0，得＋c＝0， 即a2＋c2－b2＝ac，∴cos B＝＝. ∵0<B<π，∴B＝. (2)∵B＝，且BC边上的高为b－c， ∴b－c＝c sin ，∴c＝b，∴sin C＝＝. ∵c<b，∴C为锐角，∴cos C＝， ∴sin A＝sin ＝sin ＝sin C cos ＋cos C sin ＝. (12分)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABC⊥平面ACC1A1，∠ABC＝90°，AB＝BC，四边形ACC1A1是菱形，∠A1AC＝60°，O是AC的中点． (1)证明：BC⊥平面B1OA1. (2)求直线OA与平面OB1C1所成角的正弦值． 解：(1)如图，连接A1C，因为四边形ACC1A1是菱形，则AC＝AA1. 因为∠A1AC＝60°，故△AA1C为等边三角形，所以A1O⊥AC. 因为平面ABC⊥平面ACC1A1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，A1O⊂平面AA1C1C， 所以A1O⊥平面ABC. 因为BC⊂平面ABC，所以A1O⊥BC. 因为B1A1∥BA，∠ABC＝90°，所以BC⊥A1B1. 又OA1∩B1A1＝A1，所以BC⊥平面B1OA1. (2)连接BO，因为∠ABC＝90°，AB＝BC，O是AC的中点，所以BO⊥AC. 又因为平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，BO⊂平面ABC， 所以BO⊥平面ACC1A1，所以A1O⊥BO. 设AC＝2， 以点O为坐标原点，OA，OA1，OB所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 则O，A， B1，C1， ＝，OB1＝，OC1＝. 设平面OB1C1的法向量是n＝， 则取x＝，可得n＝. 设直线OA与平面OB1C1所成角为θ， 所以sin θ＝＝＝＝， 所以直线OA与平面OB1C1所成角的正弦值是. (12分)2022年7月6日～14日，素有“数学界奥运会”之称的第29届国际数学家大会，受疫情影响，在线上进行，世界各地的数学家们相聚云端，共襄盛举．某学校数学爱好者协会随机调查了学校100名学生，得到如下调查结果：男生占调查人数的55%，喜欢数学的有40名，其余的人不喜欢数学；在调查的女生中，喜欢数学的有20名，其余的人不喜欢数学． (1)请补全下面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.005的χ2独立性检验，判断该校学生的性别与学生对数学的态度是否有关联． 性别 对数学的态度 合计 喜欢数学 不喜欢数学 男生 女生 合计 (2)采用比例分配的分层随机抽样的方法，从不喜欢数学的学生中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记X为3人中不喜欢数学的男生人数，求X的分布列和数学期望． 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 临界值表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)调查的男生人数为100×55%＝55，调查的女生人数为100－55＝45. 补全的2×2列联表如下： 性别 对数学的态度 合计 喜欢数学 不喜欢数学 男生 40 15 55 女生 20 25 45 合计 60 40 100 零假设为H0：该校学生的性别与学生对数学的态度无关联． χ2＝≈8.249>7.879＝x0.005， 根据小概率值α＝0.005的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为该校学生的性别与学生对数学的态度有关联