题型小卷17 “17—20”解答题-【精彩三年】2023高考数学汇编与名师优创选填解答题型28卷教师用书word

题型小卷17　“17—20”解答题(见学生用书P33) [限时：45分钟　满分：46分] 解答题：本题共4小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (10分)已知数列满足－＝，且a1＝1. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足bn＝，求数列的前n项和Sn. 解：(1)因为－＝＝－， 所以－＝－， －＝－， … －＝1－， 所以－a1＝1－. 又a1＝1，所以＝，所以an＝2n－1. 又a1＝1，也符合上式，所以an＝2n－1. (2)结合(1)得bn＝，所以 Sn＝＋＋＋＋…＋，① Sn＝＋＋＋…＋，② ①－②，得Sn＝1＋2－ ＝1＋－＝2－， 所以Sn＝3－. (12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝1，且(1＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C. (1)求角A的大小； (2)求△ABC面积的最大值． 解：(1)因为(1＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C， 由正弦定理得＝c. 又a＝1， 所以＝c，得b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理的推论得cos A＝＝， 所以A＝. (2)因为b2＋c2－a2＝bc， 所以bc＝b2＋c2－1≥2bc－1，可得bc≤1. 所以S△ABC＝bc sin A＝bc≤， 当且仅当b＝c＝1时，取等号． 所以△ABC面积的最大值为. (12分)在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为梯形，其中AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝4，∠BCD＝60°，平面PBD⊥平面ABCD. (1)求证：PB⊥AD. (2)若PB＝PD，且PA与平面ABCD所成角的正弦值为，点F在线段PC上且满足＝，求二面角D­BF­C的余弦值． 解：(1)由题设，△BCD为等边三角形，则AB＝2BD＝4. 又四边形ABCD为梯形，AB∥DC，则∠ABD＝60°. 在△ABD中，∠ADB＝90°，即AD⊥BD， 平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，AD⊂平面ABCD，则AD⊥平面PBD. 又PB⊂平面PBD，故PB⊥AD. (2)设O为BD的中点，又PB＝PD，则PO⊥BD. ∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，PO⊂平面PBD，则PO⊥平面ABCD. 连接OC，则OC⊥BD，且OC⊂平面ABCD， 故PO⊥OC. 综上，PO，BD，OC两两垂直． 以O为原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图， 所以A(－1，－2，0)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(－1，0，0)，若P(0，0，m)且m>0，则F. 又平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，＝(1，2，m)， 所以|cos 〈n，〉|＝＝＝，可得m＝3，故F， 所以＝，＝(2，0，0)， ＝(－1, ，0)， 设a＝(x，y，z)是平面BDF的一个法向量，则取a＝(0，6，－). 设b＝(s，t，l)是平面BCF的一个法向量，则取b＝(3，，1)， 所以|cos 〈a，b〉|＝＝＝. 由图知，二面角D­BF­C的余弦值为. (12分)为了促进落实“科技助农”服务，某地农业农村局组织基层工作人员参与农业科技知识竞赛，先进行选拔赛．选拔赛中选手需要从题库中随机抽一 题并回答，每名选手最多有5次答题机会，选手累计答对或答错3题即终止比赛，答对3题者进入正赛，答错3题者则被淘汰．设选手甲答对每道题的概率均为，且回答每道题互不影响． (1)求选手甲进入正赛的概率； (2)设选手甲在选拔赛中答题的数量为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 解：(1)设 “选手甲进入正赛” 为事件A，选手甲答对每道题的概率均为，答错每道题的概率均为.当甲连续答对 3 个题时，进入正赛的概率为P1＝＝； 当甲前 3 个题 2 对 1 错，第 4 题对时，进入正赛的概率为P2＝C××＝； 当甲前 4 个题 2 对 2 错，第 5 题对时，进入正赛的概率为P3＝C×＝. 故P(A)＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝. (2)由题可知X的所有可能取值为3，4，5. 则P(X＝3)＝＋＝＝， P(X＝4)＝C××＋C××＝，P(X＝5)＝C＝＝. X的分布列如下表． X 3 4 5 P E(X)＝3×＋4×＋5×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $