微专题3 理解导数几何意义-【精彩三年】2023高考数学汇编与名师优创微专题34卷教师用书word

微专题3　理解导数几何意义 (见学生用书P3) [建议时间：30分钟　满分：50分] 　　　　 　　　 　　　　　　　 　　　 一、单选题(本题共5个小题，共25分) 1.已知点P是曲线y＝上一动点，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　A　) A． B． C． D． 2.若直线y＝2x是曲线y＝x的切线，则a＝(　B　) A．－e B．－1 C．1 D．e 3.已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝ax3－x－，若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在交点处存在公切线，则函数g(x)在点处的切线在y轴上的截距为(　C　) A．－ B． C．－ D． 【解析】 设交点为，且f(x)＝x ln x的导数为f′(x)＝ln x＋1，g(x)＝ax3－x－的导数为g′(x)＝3ax2－， 由题意，1＋ln m＝3am2－且m ln m＝am3－m－，消去a得1＋em ln m＝0. 令h(x)＝1＋ex ln x，h′(x)＝e， 当x>时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当0<x<时， h′(x)<0，h(x)单调递减． ∴在x＝处h(x)取得极小值，也是最小值，为0，则1＋em ln m＝0，解得m＝， 代入1＋ln m＝3am2－，可得a＝e2，即有g(x)＝x3－x－， ∴g′(x)＝x2－，则g(x)在处的切线斜率为k＝，切点为. ∴g(x)在处的切线方程为y－＝，令x＝0，可得y＝－. 4.已知O为坐标原点，过曲线C：y＝ln x (0<x<1)上一点P作C的切线，交x轴于点A，则△AOP面积取最大值时，点P的纵坐标为(　C　) A． B． C．－ D．－e 【解析】 设点P的坐标为， y′＝，当x＝x0时，y′＝， ∴切线方程为y－ln x0＝(x－x0)， 令y＝0，得x＝x0－x0ln x0， ∴点A的坐标为. ∵0<x0<1，∴ln x0<0， ∴S△AOP＝××(x0－x0ln x0)＝－(x0－x0ln x0)ln x0＝－x0ln x0＋x0(ln x0)2. 令g(x)＝－x ln x＋x(ln x)2，0<x<1， 则g′(x)＝－x·－ln x＋(ln x)2＋x··2ln x＝(ln x)2＋ln x－. 令t＝ln x(t<0)，则f(t)＝t2＋t－＝0， 解得t1＝>0(舍去)，t2＝， ∴f(t)在上大于0，在上小于0， 即当ln x∈时，g(x)单调递增，当ln x∈时，g(x)单调递减， ∴当ln x＝，即ln x0＝时，g(x)最大，即△AOP面积最大， 故点P的纵坐标为. 5.若过点可以作曲线y＝ex的两条切线，则(　D　) A．eb<a B．eb>a C．0<a<eb D．0<b<ea 【解析】 设切点为，y0>0，因为y′＝ex，即y′|x＝x0＝ex0， 则切线方程为y－b＝ex0(x－a)， 由得ex0＝b， 则由题意知，关于x0的方程ex0＝b有两个不同的解． 设f(x)＝ex，则f′(x)＝ex(1－x＋a)－ex＝－ex(x－a)， 由f′(x)＝0得x＝a， 所以当x<a时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，a)上单调递增； 当x>a时，f′(x)<0，f(x)在(a，＋∞)上单调递减， 所以f(x)的最大值为f(a)＝ea＝ea>0， 当x<a时，a－x>0， 所以f(x)>0， 当x→－∞时，f(x)→0； 当x→＋∞时，f(x)→－∞， 故f(x)的图象如右， 结合图象得0<b<ea. 二、多选题(本题共3个小题，共15分) 6.若函数y＝f(x)的图象上存在两个不同的点A，B，使得曲线y＝f(x)在这两点处的切线重合，称函数y＝f(x)为“自重合”函数．下列函数中不是“自重合”函数的为(　ABC　) A．y＝ln x＋x B．y＝ex＋1 C．y＝x3 D．y＝x－cos x 7.定义：与两函数图象均相切的直线称该两函数的公切线．已知函数f(x)＝ln x与函数g(x)＝x2＋x＋a(x<0)，则下列说法中正确的是(　AC　) A．存在实数a＝0，使得y＝f(x)与y＝g(x)有公切线 B．对任意的a∈，y＝f(x)与y＝g(x)始终有公切线 C．若y＝f(x)与y＝g(x)有公切线，则a∈ D．当a∈时，函数y＝f(x)与y＝g(x)有两条不同的公切线 【解析】 设公切线与函数f(x)＝ln x切于点A(x1，ln x1)(x1>0)， f′(x)＝，切线的斜率为， 则切线方程为y－ln x1＝(x－x1)，即y＝x＋ln x1－1. 设公切线与函数g(x)＝x2＋x＋a切于点B(x2，x＋x2＋a)(x2<0)， g′(x)＝2x＋1，切线的斜率