微专题23 数列解答题(一)-【精彩三年】2023高考数学汇编与名师优创微专题34卷教师用书word

微专题23　数列解答题(一) (见学生用书P25) [建议时间：45分钟　满分：48分] 　　　　 　　　 　　　　　　　 　　　 1.已知在数列中，a1＝1，a4＝7，且an＋1＝an＋λn. (1)求λ的值及数列的通项公式； (2)设bn＝，数列的前n项和为Tn，证明Tn<2. 解：(1)由题意知，a1＝1，a2＝a1＋λ，a3＝a2＋2λ，a4＝a3＋3λ，∴a4＝a1＋6λ，即7＝1＋6λ， ∴λ＝1.∴an＋1－an＝n， ∴a1＝1，a2－a1＝1，a3－a2＝2，…，an－an－1＝n－1， ∴an＝a1＋a2－a1＋a3－a2＋…＋an－an－1 ＝1＋1＋2＋…＋n－1 ＝1＋＝. ∴an＝. (2)证明：由(1)知an＝， an＋1＝， ∴bn＝＝＝2， Tn＝2 ＝2＝2－. ∴Tn<2. 2.已知数列的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝. (1)求数列的通项公式； (2)若bn＝2n－1an＋1，求数列的前n项和Tn. 解：(1)由于Sn＝，所以2Sn＝an，① 当n≥2时，2Sn－1＝nan－1，② ①－②得2an＝an－nan－1， an＝nan－1， 整理得＝，所以为常数列．又＝1， 所以an＝n. (2)由(1)得bn＝2n－1an＋1＝·2n－1， 所以Tn＝2×20＋3×21＋4×22＋…＋·2n－1，③ 2Tn＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋·2n，④ ③－④得－Tn＝2＋－·2n＝2＋－·2n＝－n·2n， 故Tn＝n·2n. 3.已知数列满足a1＝，an＋1＝an＋1＋，n∈N*. (1)设bn＝，n∈N*，求证：数列为等差数列． (2)求证：＋＋…＋<. 证明：(1)由an＋1＝an＋1＋， 得4an＋1＋1＝4an＋4＋4＋1 ＝＋4＋22＝， ＝＋2，即bn＋1－bn＝2， 又b1＝＝4，故数列是以4为首项，以2为公差的等差数列． (2)由(1)知，bn＝4＋2(n－1)＝2n＋2＝，化简得an＝n2＋2n＋， 故＝＝ ＝－，＋＋…＋ ＝－＋－＋…＋－ ＝－＝－<. 4.设数列的前n项和为Sn，已知an＋1＝3an，且3S3＋1＝S4. (1)求的通项公式； (2)设bn＝＋，数列的前n项和为Tn，求证：Tn<. 解：(1)∵an＋1＝3an， ∴是公比为3的等比数列．设首项为a1， 由3S3＋1＝S4，得3a1×＋1＝a1×，∴a1＝1. an＝3n－1. (2)证明：bn＝＋＝＋ ＝－＋， Tn＝ ＋＝－＋－ ＝－－<. 学科网（北京）股份有限公司 $