微专题19 圆锥曲线定的问题-【精彩三年】2023高考数学汇编与名师优创微专题34卷教师用书word

微专题19　圆锥曲线定的问题 (见学生用书P20) [建议时间：30分钟　满分：50分] 　　　　 　　　 　　　　　　　 　　　 一、单选题(本题共5个小题，共25分) 1.已知椭圆＋y2＝1的上顶点为A，B，C为椭圆上异于A的两点，且AB⊥AC，则直线BC过定点(　D　) A．(1，0) B．(，0) C． D． 【解析】 设直线BC的方程为x＝ky＋m，B，C， 则由整理得y2＋2mky＋m2－4＝0， 所以y1＋y2＝，y1y2＝， x1x2＝k2y1y2＋mk＋m2＝k2＋mk＋m2， 因为A，＝， ＝，⊥， 所以·＝x1x2＋ ＝x1x2＋y1y2－＋1 ＝k2＋mk＋m2＋＋＋1＝0， 化简得2km＋5m2－3k2＝0， 解得m＝－k或m＝k. 当m＝－k时，直线BC的方程为x＝ky－k＝k， 直线过点，而A，又A，B，C不在同 一直线上，所以m＝－k不合题意； 当m＝k时，直线BC的方程为x＝ky＋k＝k， 直线过，符合题意．故选D. 2.已知点P为双曲线－＝1(a>0，b>0)上任意一点，F1，F2为其左、右焦点，O为坐标原点．过点P向双曲线的两条渐近线作垂线，设垂足分别为M，N，则下列说法中错误的是(　D　) A．|PM|·|PN|为定值 B．O，P，M，N四点一定共圆 C．PF1·PF2的最小值为－b2 D．存在点P满足P，M，F1三点共线时，P，N，F2三点也共线 【解析】 如图1，设P，点P到渐近线y＝x的距离为＝， 同理|PN|＝，则·＝. ∵－＝1，即b2x－a2y＝a2b2， ∴·＝(定值)，故A正确； ∵∠OMP＝∠ONP＝90°，∴△OMP和△ONP均为直角三角形，M，N两点在以OP为直径的圆上，故B正确； 由双曲线的对称性可知PF1·PF2＝· ＝||2－ ＝||2－c2，其中c2＝a2＋b2， ∵≥a2，∴PF1·PF2≥a2－c2＝－b2成立，故C正确； 如图2，利用双曲线的对称性，不妨设直线F1M垂直于一条渐近线，垂足为M且交双曲线于点P；直线F2N垂直于另一条渐近线，易知直线F1M与直线F2N的交点始终落在y轴上，故D不正确． 3.已知直线l：y＝kx(k≠0)与双曲线C：－y2＝1交于P，Q两点，QH⊥x轴于点H，直线PH与双曲线C的另一个交点为T，则下列选项中错误的是(　D　) A．－<k<且k≠0 B．kPT＝ C．kPT·kQT为定值 D．k＋k的最小值为2 【解析】 引理：已知双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，P，Q是双曲线上关于原点对称的两点，点T也在双曲线上，则kPTkQT＝. 推导：由－＝1得，y2＝， 则y＝，y＝， 所以kPTkQT＝·＝ ＝＝＝. 设P，Q， H，T，则k＝. 对于选项A，双曲线C：－y2＝1，所以渐近线方程为 y＝±x，直线与双曲线交于P，Q两点， 所以－<k<，由已知，k≠0，所以该选项正确； 对于选项B，kPT＝kPH＝＝＝， 所以该选项正确； 对于选项C，kPTkQT＝＝，所以该选项正确； 对于选项D，因为kPT·kQT＝，∴kQT＝， ∴kPQkQT＝，所以k＋k>2kPQ·kQT＝2×＝1≠2，故该选项错误． 4.已知双曲线C：x2－＝1，过定点A(－1，0)的两条垂线分别交双曲线于P，Q两点，则直线PQ恒过定点(　C　) A．(1，0) B．(2，0) C．(3，0) D．(4，0) 【解析】 设PQ的方程为x＝my＋b，则由得y2＋2bmy＋b2－1＝0. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， ∴y1＋y2＝－，y1y2＝. 又A(－1，0)，AP⊥AQ，∴·＝0， ∴(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0. 又x1＝my1＋b，x2＝my2＋b， ∴(my1＋b＋1)(my2＋b＋1)＋y1y2＝0， ∴(1＋m2)y1y2＋(b＋1)m(y1＋y2)＋(b＋1)2＝0， 代入y1＋y2＝－，y1y2＝，整理得 2(b2－1)(1＋m2)－4bm(b＋1)m＋(2m2－1)(b＋1)2＝0， ∴b2－2b－3＝0，∴b＝3或b＝－1. 当b＝－1时，直线过A(－1，0)，舍去； 当b＝3时，直线过定点(3，0). 5.如图，P为椭圆E1：＋＝1(a>b>0)上的一个动点，过点P作椭圆E2：＋＝λ(0<λ<1)的两条切线PA，PB，斜率分别为k1，k2.若k1·k2为定值，则λ＝(　C　) A. B． C． D． 【解析】 设P， 则过P的直线方程为y－y0＝k， 将直线方程与椭圆E2联立可得 化简可得(b2＋a2k2)x2＋2a2k(y0－kx0)x＋a2(y0－kx0)2－λa2b2＝0， 因为相切，所以判别式 Δ＝[2a2k(y0－kx0)]2－4(b2＋a2k2)[