微专题17 空间关系与空间角-【精彩三年】2023高考数学汇编与名师优创微专题34卷教师用书word

微专题17　空间关系与空间角 (见学生用书P17) [建议时间：30分钟　满分：50分] 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　 一、单选题(本题共5个小题，共25分) 1.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，若PA1∥平面AEF，则线段PA1的长度范围是(　D　) A． B． C． D． 【解析】 由题意，取BB1的中点G，B1C1的中点H，连接A1H，A1G，GH，D1F，AD1， 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，易知A1G∥D1F，A1H∥AE，EF∥AD1， 则A，E，F，D1共面，∵A1G⊄平面AEFD1，D1F⊂平面AEFD1， ∴A1G∥平面AEFD1.同理可得A1H∥平面AEFD1. ∵A1H∩A1G＝A1，∴平面A1GH∥平面AEFD1. 当A1P⊂平面A1GH时，A1P∥平面AEFD1. ∵正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2， 在Rt△A1B1H中，A1B＋B1H2＝A1H2，解得A1H＝，同理A1G＝， 在Rt△B1GH中，B1G2＋B1H2＝GH2，解得GH＝， 所以△A1GH中边GH上的高h＝＝，即A1P∈. 2.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E为DD1的中点，F为棱CD上异于端点的动点，若平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，则线段CF的取值范围是(　D　) A． B． C． D． 【解析】 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面BEF∩平面CDD1C1＝EF，而B∈平面ABB1A1，B∈平面BEF， 平面CDD1C1∥平面ABB1A1，则平面BEF与平面ABB1A1的交线过点B，且与直线EF平行，与直线AA1相交，令交点为G，如图1， 而DD1⊥平面ABCD，AA1⊥平面ABCD，即∠EFD，∠GBA分别为EF，GB与平面ABCD所成的角， 而EF∥GB，则∠EFD＝∠GBA，且有＝tan ∠GBA＝tan ∠EFD＝， 当F与C重合时，平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，GA＝ED＝，即G为棱AA1的中点M. 当点F由点C向点D移动的过程中，∠GBA逐渐增大，点G由M向点A1方向移动， 当点G为线段MA1上任意一点时，平面BEF只与该正方体的4个表面正方形有交线，即可围成四边形， 当点G在线段MA1的延长线上时，直线BG必与棱A1B1交于除点A1外的一点， 而点F与D不重合，此时，平面BEF与该正方体的5个表面正方形有交线，截面为五边形，如图2， 因此，F为棱CD上异于端点的动点，截面为四边形，点G只能在线段MA1(除点M外)上，即<GA≤1， 显然，DF＝＝∈， 则CF＝1－DF∈， 所以线段CF的取值范围是. 3.已知在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，点P，Q分别是棱BB1，AB上的动点，则下列判断中错误的是(　C　) A．对于任意给定的点P，存在点Q，使得PQ∥平面A1C1D B．对于任意给定的点Q，存在点P，使得PQ∥平面A1C1D C．对于任意给定的点P，存在点Q，使得CP⊥D1Q D．对于任意给定的点Q，存在点P，使得CP⊥D1Q 【解析】 连接A1C1，A1D，C1D，AB1， 对于任意给定的点P，可在△ABB1内作PQ∥AB1，交AB于Q， 又在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，DC1∥AB1， 则PQ∥DC1.又DC1⊂平面A1C1D，PQ⊄平面A1C1D， 则PQ∥平面A1C1D.则对于任意给定的点P，存在点Q，使得PQ∥平面A1C1D.A正确； 对于任意给定的点Q，可在△ABB1内作PQ∥AB1，交BB1于P， 又在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，DC1∥AB1， 则PQ∥DC1.又DC1⊂平面A1C1D，PQ⊄平面A1C1D， 则PQ∥平面A1C1D.则对于任意给定的点Q，存在点P， 使得PQ∥平面A1C1D.B正确； 以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则C(0，1，0)，D1(0，0，2)，设P(1，1，m)(0≤m≤2)，Q(1，t，0)(0≤t≤1)， 则＝(1，0，m)， D1Q＝(1，t，－2). 由·D1Q＝(1，0，m)·(1，t，－2)＝1－2m＝0，可得m＝， 则当m≠时，·D1Q≠0， 即CP⊥D1Q不成立． 则对于任意给定的点P，不一定存 在点Q，使得CP⊥D1Q.C错误； 对于任意0≤t≤1，当m＝时均 有·D1Q＝0，即⊥D1Q， 则对于任意给定的点Q，存在点P， 使得CP⊥D1Q.D正确． 4.如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，则(　B　) A．直线EF与