微专题16 空间两球归纳小结-【精彩三年】2023高考数学汇编与名师优创微专题34卷教师用书word

微专题16　空间两球归纳小结 (见学生用书P16) [建议时间：30分钟　满分：50分] 　　　　 　　　 　　　　　　　 　　　 一、单选题(本题共5个小题，共25分) 1.已知P，A，B，C是半径为2的球面上的点，PA＝PB＝PC＝2，∠ABC＝90°，点B在AC上的射影为D，则三棱锥P­ABD的体积最大值是(　B　) A． B． C． D． 【解析】 因为PA＝PB＝PC＝2，∠ABC＝90°，所以点P在底面的射影G是直角三角形ABC斜边AC的中点，所以球心O在线段PG的延长线上，设PG＝h，因此OG＝2－h， ∴OB2－OG2＝PB2－PG2，即4－(2－h)2＝4－h2⇒h＝1， AG＝CG＝. 过B作BD⊥AC，垂足为D， 设AD＝x，CD＝2－x，BD＝y， 由△BDC∽△ADB， 可得＝⇒y＝， xy＝. 设f(x)＝－x4＋2x3， 则有f′(x)＝－4x3＋6x2， 由f′(x)＝0，可得x＝， 当x∈时，f′(x)>0，函数单调递增， 当x∈时，f′(x)<0，函数单调递减， 故当x＝时，函数有最大值， 且最大值为f(x)max＝f＝. 三角形ABD的面积的最大值为＝. 三棱锥P­ABD体积的最大值是×1×＝. 2.在三棱锥A­BCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝1，AC＝，且二面角B­AC­D的大小为120°，则三棱锥A­BCD外接球的表面积为(　D　) A. 4π B. 5π C. 6π D. 7π  3.设三棱锥P­ABC外接球的球心为O，AB∶AC∶BC＝3∶4∶5，若二面角P­AB­C，P­AC­B和P­BC­A的大小均等于，且直线PO与平面ABC交于点Q，则＝(　D　) A． B. 2 C. 3 D. 4 【解析】 因为三个侧面与底面所成角均为， 所以，点P在底面的射影为△ABC的内心(设为I)， 易得Rt△ABC的内切圆半径为1，PI＝IE·tan ＝. 设BC的中点为M，则点M是△ABC的外心， IM＝＝， 过点M作底面ABC的垂线l，则球心必在直线l上． 设OM＝h，则有 R2＝OA2＝h2＋， R2＝OP2＝＋(－h)2， 解得h＝－， 所以球心O在底面ABC的下方， 如图所示，则有＝＝，即＝4. 4.已知二面角P­AB­C的大小为120°，且∠PAB＝∠ABC＝90°，AB＝AP，AB＋BC＝6，若点P，A，B，C都在同一球面上，则该球表面积的最小值为(　B　) A．45π B． C． D．  5.设△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝2，∠A＝，AD为BC边上的高，将△ADC沿AD翻折成△ADC′，若四面体ABC′D的外接球半径为，则线段BC′的长度为(　A　) A． B． C． D．2 二、多选题(本题共3个小题，共15分) 6.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现．右图是一个圆柱容球，O1，O2为圆柱两底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O1的一条直径，若球的半径r＝2，则(　BCD　) A．球与圆柱的表面积之比为1∶2 B．平面DEF截球所得的截面面积的最小值为π C．四面体CDEF的体积的取值范围为 D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE＋PF的取值范围为 【解析】 由球的半径为r，可知圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2r，则球的表面积为4πr2，圆柱的表面积为2πr2＋2πr·2r＝6πr2， 所以球与圆柱的表面积之比为，故A错误； 过O作OG⊥DO1于G，则由题可得OG＝×＝， 设O到平面DEF的距离为d1，平面DEF截球所得的截面圆的半径为r1， 则d1≤OG，r＝r2－d＝4－d≥4－＝， 所以平面DEF截球所得的截面面积的最小值为π，故B正确； 由题可知四面体CDEF的体积等于2VE­DCO1，点E到平面DCO1的距离d∈(0，2]， 又S△DCO1＝×4×4＝8，所以2VE­DCO1＝×8d∈，故C正确； 由题可知点P在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P在底面的射影为P′，则PP′＝2，PE＝， PF＝，P′E2＋P′F2＝16， 设t＝P′E2，则t∈，PE＋PF＝＋， 所以＝＝24＋2＝24＋2∈， 所以PE＋PF∈，故D正确． 故选BCD. 7.已知正三棱锥S­ABC的底面ABC的面积为3，体积为3，球O1，O2分别是三棱锥S­ABC的外接球与内切球，则下列说法中正确的是(　ACD　) A．球O1的表面积为π B．二面角S­AB­C的大小为30° C．若点E在棱SB上，则AE＋CE的最小值为 D.在三棱锥S­ABC中放入一个球O3，使其与平面