微专题14 两大定理解三角形-【精彩三年】2023高考数学汇编与名师优创微专题34卷教师用书word

微专题14　两大定理解三角形 (见学生用书P14) [建议时间：35分钟　满分：55分] 　　　　 　　　 　　　　　　　 　　　 一、单选题(本题共5个小题，共25分) 1.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，A＝，b＋c＝2a，△ABC的面积为2，则△ABC的周长为(　C　) A．6 B．8 C．6 D．6 2.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知2a cos C＝b，则此三角形一定是(　A　) A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 3.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若sin A＝sin B，且c2＝2a2，则C＝(　D　) A． B． C． D． 4.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若AC＝2，＋＝＋＋1，则△ABC的周长的最大值为(　A　) A．2＋4 B．2＋4 C．2＋7 D．2＋7 【解析】 由＋＝＋＋1可得＋＝＋＋1， 两边同乘sin A sin B得sin A＋sin A cos B＝sin B＋sin B·cos A＋sin A sin B， 两边同加sin B cos A得sin A＋sin A cos B＋sin B cos A＝sin B＋2sin B cos A＋sin A sin B， 即sin A＋sin ＝sin B＋2sin B cos A＋sin A sin B，又sin ＝sin ＝sin C， 则sin A＋sin C＝sin B， 由正弦定理得a＋c＝b＝2＝2，其中sin φ＝，cos φ＝， 易得当A＋φ＝时，a＋c取得最大值2＋2， 此时周长的最大值为2＋2＋2＝4＋2. 5.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，A＝120°，D是边BC上一点，AB⊥AD且AD＝，则b＋2c的最小值是(　C　) A．4 B．6 C．8 D．9 【解析】 如图所示， 因为∠BAC＝120°，所以B＋C＝60°. 在Rt△ABD中，AB＝，即c＝， 因为∠CAD＝120°－90°＝30°， 由正弦定理可得＝，即＝， 所以b＝， 所以b＋2c＝＋＝＋＝＋＝＋＝， 因为0°<B<60°，所以0<tan B<， 所以b＋2c≥＝8， 当且仅当－tan B＝tan B，即tan B＝时，等号成立， 所以b＋2c的最小值为8. 二、多选题(本题共3个小题，共15分) 6.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，则(　ACD　) A．若＝，则△ABC为等腰三角形 B．若＝，则△ABC为等腰三角形 C．若a＝b sin C＋c cos B，则∠C＝ D．若tan A＋tan B＋tan C<0，则△ABC为钝角三角形 7.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，有以下四个说法： ①若△ABC为锐角三角形，则sin A>cos B； ②存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的两倍； ③存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的三倍； ④若A>B，则cos 2A<cos 2B. 其中正确的说法有(　ABD　) A．① B．② C．③ D．④ 【解析】 对于①，由△ABC为锐角三角形，则A＋B>，即>A>－B>0， 所以sin A>sin ＝cos B，故①正确； 对于②，设三边长分别为n－1，n，n＋1，n为大于1的正整数，对角分别为A，B，C.若C＝2A， 则cos C＝＝，cos A＝＝， ∴＝2－1， 解得n＝5(－2，舍去)， 所以存在三边为连续自然数4，5，6的三角形，使得最大角是最小角的两倍，故②正确； 对于③，设三边长分别为n－1，n，n＋1，n为大于1的正整数，对角分别为A，B，C，若C＝3A，由正弦定理得＝＝＝＝2cos2A＋cos2A＝3－4sin2A， ＝＝＝＝＝4cos A， 由此两式消去sin2A得4cosA＝n. 又由余弦定理得4cos A＝4×＝4×＝n， 所以n2－n－8＝0，而该方程无正整数解， 所以这样的三角形不存在，故③不正确； 对于④，由A>B，可知a>b，sin A>sin B， ∴sin2A>sin2B，2sin2A>2sin2B， ∴1－2sin2A<1－2sin2B，即cos2A<cos 2B，故④正确． 故选ABD. 8.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若c2＝b，则以下结论中正确的是(　AB　) A．c>b B．C＝2B C．a>c D．0<B< 【解析】 因为c2＝b>bc，所以c>b，故A正确； 由余弦定理得，cos B＝＝ ＝＝，所以c＝2b cos B. 由正弦定理，得＝， 所以cos B＝，