微专题11 平面向量注重定义-【精彩三年】2023高考数学汇编与名师优创微专题34卷教师用书word

微专题11　平面向量注重定义 (见学生用书P11) [建议时间：35分钟　满分：55分] 　　　　 　　　 　　　　　　　 　　　 一、单选题(本题共5个小题，共25分) 1.如图，矩形ABCD中边AD的长为1，边AB的长为2，矩形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x轴、y轴的正半轴上(含原点)滑动，则·的最大值为(　B　) A．5 B．6 C．7 D．8 2.已知O是△ABC内的一点，且＋＋＝0， 点M在△OBC内(不含边界)，若＝λ＋μ， 则λ＋2μ的取值范围是(　B　) A． B． C． D． 【解析】 因为O是△ABC内一点，且＋＋＝0，所以O为△ABC的重心． M在△OBC内(不含边界)，且当M与O重合时，λ＋2μ最小，此时＝λ＋μ＝×＝＋， 所以λ＝，μ＝，即λ＋2μ＝1. 当M与C重合时，λ＋2μ最大，此时＝， 所以λ＝0，μ＝1，即λ＋2μ＝2. 因为M在△OBC内且不含边界，所以取开区间，即λ＋2μ∈. 3.已知平面向量a，b，c满足|b|＝2，|a＋b|＝1，c＝λa＋μb且λ＋2μ＝1，若对每一个确定的向量a，记|c|的最小值为m，则当a变化时，m的最大值为(　B　) A． B． C． D．1 【解析】 根据题意，|b|＝2，设＝a＝， ＝b＝，＝c，E， 则＝. 由＝1代入可得＝1， 即P点的轨迹方程为＋y2＝1. 又因为c＝λa＋μb，所以c＝λa＋2μ， 即＝λ＋2μ，且λ＋2μ＝1， 由平面向量基本定理可知P，C，E三点共线， 如图所示， |c|的最小值m即为O到直线PE距离的最小值， 根据圆的切线性质可知，当PE与圆M相切时， m有最大值， 此时，MP⊥PE，OC⊥PE，所以OC∥PM， ＝＝，即此时＝＝， 即m的最大值为. 4.已知C，D是以AB为直径的圆O上的动点，且AB＝4，则·的最大值是(　A　) A．2 B．4－4 C．2 D．4－4 【解析】 如图，以圆心O为原点，直径AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则A(－2，0)，B(2，0)，设C(2cos θ1，2sin θ1)，D(2cos θ2，2sin θ2)， ∴＝，＝， ∴·＝(2cos θ2－2)＋4sin θ1sin θ2＝cos θ2＋4sin θ1sin θ2－4 ≤－4 ＝4－4， 设＝t，t∈[0，]，则·≤－4t2＋4t＝－4＋2≤2， 即·的最大值是2. 5.设正数λ1，λ2，λ3满足λ1＋λ2＋λ3＝3，P1，P2，P3是以O为圆心的单位圆上的3个点，且λ1OP1＋λ2OP2＋λ3OP3＝0.若M是圆O所在平面上任意一点，则λ1＋λ2＋λ3的最小值是(　B　) A．2 B．3 C．2 D．3 【解析】 ∵P1，P2，P3是以O为圆心的单位圆上的3个点， 所以＝＝＝1， 故λ1＋λ2＋λ3 ＝λ1·＋λ2＋λ3 ≥λ1MP1·OP1＋λ2MP2·OP2＋λ3MP3·OP3， 而MPi·OPi＝·OPi＋OPi2 ＝·OPi＋1， 故λ1＋λ2＋λ3 ≥·＋λ1＋λ2＋λ3＝3， 当且仅当点M与点O重合时等号成立， 即λ1＋λ2＋λ3的最小值是3. 二、多选题(本题共3个小题，共15分) 6.设e1，e2为单位向量，满足≤，a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，a，b的夹角为θ，则cos2θ的取值可能为(　CD　) A． B． C． D．1 【解析】设〈e1，e2〉＝α， 由≤，两边平方得5－4cos α≤2，解得≤cos α≤1.又a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2， ∴ ＝＝，同理＝， 且a·b＝4＋4cos α， ∴cos θ＝＝ ＝，∴cos2θ＝，令t＝cos2θ， 则t＝＝－. ∵≤cos α≤1，∴≤5＋3cos α≤8，∴∈， 所以－∈，即cos2θ的取值范围为.故选CD. 7.已知平面向量a，b，c满足＝1，＝2且a⊥，〈c－2a，c－b〉＝30°，则下列说法中正确的是(　ACD　) A．＝2 B．a在b方向上的投影向量为b C．的最大值是2＋2 D．若向量m满足m·a＝2，则m·的最小值为 【解析】因为＝1，＝2且a⊥， 所以a·＝a2－a·b＝0，所以a·b＝1， cos 〈a，b〉＝＝，所以a，b的夹角为60°. 因为＝＝＝2，所以A正确； a在b方向上的投影向量为cos 〈a，b〉·＝b，所以B错误； 如图，作半径都等于2且公共弦长等于2的两个圆，其中， ＝2a，＝b，＝c， 则＝c－2a，＝c－b. 因为〈c－2a，c－b〉＝30°，所以∠ACB＝30°， 由图可知，当OC同过两圆的圆心时最大， 此时的最大值等于圆心距加半径为2＋2， 所以C正确； 作＝a，＝b，如图， ＝＝b