微专题10 原函数导函数共存-【精彩三年】2023高考数学汇编与名师优创微专题34卷教师用书word

微专题10　原函数导函数共存 (见学生用书P10) [建议时间：30分钟　满分：50分] 　　　　 　　　 　　　　　　　 　　　 一、单选题(本题共5个小题，共25分) 1.设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，对任意的x∈R有f(x)－f(－x)＝2x，且在[0，＋∞)上，f′(x)<1，若f(2－a)－f(a)≥2－2a，则实数a的取值范围是(　B　) A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．[1，2] D．(－∞，1]∪[2，＋∞) 2.已知f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f′(x)<f(x)，f＝f(－x)，f(x＋1)＋f＝0，若f＋f＝1，则不等式f(x)－ex<0的解集为(　C　) A． B． C． D． 【解析】 不等式f(x)－ex<0可化为<1，令g(x)＝，由f′(x)<f(x)， 得g′(x)＝<0，所以g(x)是减函数． 因为f(x＋1)＋f(1－x)＝0，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，即f(1)＝0. 又f(x＋6)＝f(－x)， 分别令x＝2，x＝3，x＝－2，x＝0，x＝－1，得f(8)＝f(－2)，f(9)＝f(－3)，f(4)＝f(2)，f(6)＝f(0)，f(5)＝f(1)， 结合对称性，有 f(－2)＝－f(4)＝－f(2)＝f(0)，f(－3)＝－f(5)＝－f(1)＝0， 所以f(9)＋f(8)＝f(0)＝1，从而g(0)＝＝1， 因此不等式<1为g(x)<g(0)，所以x>0. 3.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)＋xf′(x)>1(f′(x)为函数f(x)的导函数)，则不等式f>f＋x的解集为(　A　) A． B． C． D．∪ 【解析】 由(1＋x)f(1－x2)>f(1－x)＋x， 当x<1时，可得(1－x)(1＋x)f(1－x2)>(1－x)·f(1－x)＋(1－x)x， 即(1－x2)f(1－x2)>(1－x)f(1－x)＋x－x2， 即(1－x2)f(1－x2)－(1－x2)>(1－x)f(1－x)－(1－x)， 构造函数g(x)＝xf(x)－x，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)－1>0， 所以函数g(x)单调递增， 则1－x2>1－x，此时0<x<1，即0<x<1满足； 当x>1时，可得(1－x2)f(1－x2)－(1－x2)<(1－x)·f(1－x)－(1－x)， 由函数g(x)递增，则1－x2<1－x，此时x<0或x>1，即x>1满足； 当x＝1时，2f(0)>f(0)＋1，即f(0)>1，满足f(x)＋x·f′(x)>1. 综上，x∈(0，＋∞). 4.设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，对于任意的实数x，有f(x)＋f(－x)＝2x2，当x∈时，f′(x)＋4<2x，若≤2m，则实数m的取值范围是(　D　) A． B．∪ C． D．∪ 【解析】 ∵f′(x)＋4<2x，∴f′(x)＋4－2x<0. 令g(x)＝f(x)－x2＋4x，且g′(x)＝f′(x)－2x＋4， 则g(x)在上单调递减． 又∵f(x)＋f(－x)＝2x2， ∴g(x)＋g(－x)＝f(x)－x2＋4x＋f(－x)－x2－4x＝f(x)＋f(－x)－2x2＝0， ∴g(x)为奇函数，g(x)在R上单调递减． ∵≤2m， ∴≤0. 当m－2<0，即m<2时，f(m＋2)＋f(m)＋4－2m2＋4m≥0，即f(m＋2)－(m＋2)2＋4(m＋2)≥－， 即g(m＋2)≥g，由于g(x)在R上单调递减， 则m＋2≤－m，解得m≤－1， ∴m≤－1； 当m－2>0，即m>2时，f(m＋2)＋f(m)＋4－2m2＋4m≤0，即g(m＋2)≤g. 由g(x)在R上单调递减，则m＋2≥－m， 解得m≥－1，所以m>2. 综上所述，实数m的取值范围是∪. 5.定义在区间内的函数f(x)满足f(x)>0，且当x∈时，2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立，其中f′(x)为f(x)的导函数，则(　B　) A．<< B．<< C．<< D．<< 【解析】 令g(x)＝，则g′(x)＝， 由2f(x)<xf′(x)且x∈，故g′(x)>0，即g(x)单调递增， 所以g(1)<g(2)，即<. 令h(x)＝，则h′(x)＝， 由xf′(x)<3f(x)且x∈，故h′(x)<0，即h(x)单调递减， 所以h(1)>h(2)，即>， 综上，<<. 二、多选题(本题共3个小题，共15分) 6.已知f′(x)是定义在R上的函数f(x)的导数，且f(x)－f′(x)<0，则下列不等式一定成立的是(　AC　) A．e3f<f(1) B．f<e3f(1) C．ef(1)<f(2) D．f(1)<ef(2) 7.已知奇函数f(x)的定义域为R，其函数图象连续不断，