微专题6 指对同构揭示本质-【精彩三年】2023高考数学汇编与名师优创微专题34卷教师用书word

微专题6　指对同构揭示本质 (见学生用书P6) [建议时间：35分钟　满分：60分] 　　　　 　　　 　　　　　　　 　　　 一、单选题(本题共5个小题，共25分) 1.已知e为自然对数的底数，a，b均为正数，若aea＋1＋b<b ln b，则(　B　) A．b<ea＋1 B．b>ea＋1 C．ab<e D．ab>e 2.若ex＋x－1≥ax＋ln (ax＋1)恒成立，则实数a＝(　A　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 由ex＋x－1≥ax＋ln ，得ex＋x≥＋ln ＝eln (ax＋1)＋ln ， 令t＝ln ，则上式变为ex＋x≥et＋t. 因为p(x)＝ex＋x是增函数， 所以原式等价于x≥t，即x≥ln ，ex≥ax＋1恒成立． 设s(x)＝ex－ax－1，则s′(x)＝ex－a， 若a≤0，则s′(x)>0，x∈， s(x)是增函数，s(0)＝0，当x<0时，s(x)＜0，不符合题意， 故a>0，x∈. 令s′(x)＝0，得x0＝ln a，当x>x0时，s′(x)>0， 当－<x<x0时，s′(x)＜0，故smin(x)＝s＝a－a ln a－1≥0. 设j(a)＝a－a ln a－1，则j′(a)＝－ln a， 当a>1时，j′(a)<0，当0<a<1时，j′(a)＞0， j(a)在a＝1时取得最大值，j(a)max＝j(1)＝0， 即a－a ln a－1≤0，当a＝1时，等号成立， 所以实数a＝1. 3.若函数f(x)＝xex－ln x－x－2的最小值为a，g(x)＝＋ln x－x的最小值为b，则a＋b＝(　A　) A．－2 B．0 C．2 D．－4 【解析】 易证不等式：∀x∈R，ex≥x＋1，当且仅当x＝0时取等号， f(x)＝xex－ln x－x－2＝ex＋ln x－ln x－x－2≥－ln x－x－2＝－1， 当且仅当x＋ln x＝0时取等号，所以a＝－1. g(x)＝＋ln x－x＝ex－2－ln x＋ln x－x≥＋ln x－x＝－1， 当且仅当x－2－ln x＝0时取等号， 所以b＝－1，于是a＋b＝－2. 4.已知不等式x＋a ln x＋≥xa对x∈恒成立，则实数a的最小值为(　C　) A．－ B．－ C．－e D．－2e 【解析】 因为x＋a ln x＋≥xa， 所以x＋≥xa－a ln x＝xa－ln xa， 即－ln ≥xa－ln xa， 构造函数f(t)＝t－ln t，t>0， 所以f≥f. f′(t)＝1－＝， 令f′(t)>0，解得t>1，令f′(t)<0，解得0<t<1， 故f(t)在上单调递减，在上单调递增， 当x>1时，0<<1，xa与1的大小关系不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时0<xa<1. 因为当0<t<1时，f(t)单调递减， 故≤xa，两边取对数得－x≤a ln x， ∴a≥－.令g(x)＝－，则g′(x)＝， 令g′(x)>0，得1<x<e，令g′(x)<0得x>e， 所以g(x)在上单调递增，在上单调递减， 所以g(x)≤g＝－e， 故a的最小值是－e. 5.已知函数f(x)＝x2eax＋1－2ln x－ax－2，若f(x)≥0对任意x>0恒成立，则实数a的最小值为(　B　) A．－ B．－ C．－ D． 【解析】 f(x)＝x2eax＋1－2ln x－ax－2＝e2ln x＋ax＋2－1－(2ln x＋ax＋2)， 记g(x)＝ex－1－x. 因为g′(x)＝ex－1－1，所以当x>1时，g′(x)>0，所以g(x)在上单调递增，当x<1时，g′(x)<0，所以g(x)在上单调递减， 所以g(x)≥g(1)＝0，即ex－1≥x， 所以f(x)＝x2eax＋1－2ln x－ax－2＝e2ln x＋ax＋2－1－(2ln x＋ax＋2)≥(2ln x＋ax＋2)－(2ln x＋ax＋2)＝0， 当且仅当2ln x＋ax＋2＝1时取等号，即a＝有解． 令p(x)＝，则p′(x)＝，令p′(x)＝0，解得x＝. 当x∈时，p′(x)<0，p(x)单调递减；当x∈时，p′(x)>0，p(x)单调递增． 所以p(x)min＝p＝－，即a的最小值为－. 二、多选题(本题共3个小题，共15分) 6.若关于x的不等式x＋a ln x≤ex－2a ln a在上恒成立，则实数a的值不可能为(　CD　) A． B．1 C． D．e 【解析】 由已知可得a>0，x>0，由x＋a ln x≤ex－2a ln a可得x＋ln x≤ex－ln a－2ln a， 所以，ex－ln a＋x－ln a≥ax＋ln x＋ln a＝eln x＋ln