微专题4 构造函数比较大小-【精彩三年】2023高考数学汇编与名师优创微专题34卷教师用书word

微专题4　构造函数比较大小 (见学生用书P4) [建议时间：35分钟　满分：60分] 　　　　 　　　 　　　　　　　 　　　 一、单选题(本题共5个小题，共25分) 1.已知a＝e0.2－1，b＝ln 1.2，c＝tan 0.2，其中e＝2.718 28…为自然对数的底数，则(　B　) A．c>a>b B．a>c>b C．b>a>c D．a>b>c 【解析】 令f(x)＝ex－1－tan x＝，0<x<， 令g(x)＝ex cos x－cos x－sin x，g′(x)＝(－sin x＋cos x)ex＋sin x－cos x＝(ex－1)·(cos x－sin x)， 当0<x<时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 又g(0)＝1－1＝0，所以g(x)>0，又cos x>0， 所以f(x)>0在上恒成立，所以f(0.2)>0， 即a>c. 令h(x)＝ln (x＋1)－x，h′(x)＝－1＝， h(x)在上单调递减， 所以h(x)<h(0)＝0，即ln (x＋1)<x. 令m(x)＝x－tan x，则m′(x)＝1－，m(x)在上单调递减， 所以m(x)<m(0)＝0，即x<tanx， 所以ln (x＋1)<x<tan x，x∈成立， 令x＝0.2，则上式变为ln (0.2＋1)<0.2<tan 0.2，所以b<0.2<c，所以b<c， 所以b<c<a. 2.已知a＝ln ，b＝2－2，c＝sin 0.04－，则a，b，c的大小关系是(　C　) A．c>b>a B．a>b>c C．b>a>c D．a>c>b 【解析】 构造函数f(x)＝2ln x－2＝2，则a－b＝f， f′(x)＝2<0在上恒成立，则y＝f(x)在上单调递减， 故a－b＝f<f(1)＝0，则b>a>0. 令＝1＋x0，则－1＝>＝0.04，(1＋x0)－1＝<＝0.09. 对于函数g(x)＝sin x－x，g′(x)＝cos x－1<0在上恒成立， 所以g(x)＝sin x－x<g(0)＝0，即sin x<x在上恒成立． 又0.04<x0<0.09，0.2<<0.3<0.5， 所以sin 0.04－<sin x0－ ＝sin x0－<x0－＝ <0. 所以b>a>c. 3.已知实数a，b，c满足＝＝－<0，则a，b，c的大小关系为(　C　) A．b<c<a B．c<b<a C．a<b<c D．c<a<b 【解析】 由题意知a>0，b>0，c>0， 由＝＝－<0，得0<a<1，0<b<1，c>1. 设f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝， 当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 因为ex≥x＋1，当且仅当x＝0时取等号， 故ea>a(0<a<1)， 所以>，故>， 所以f(b)>f(a)，则b>a，即有0<a<b<1<c， 故a<b<c. 4.设a＝，b＝，c＝2，则(　D　) A．b<c<a B．c<b<a C．a<b<c D．c<a<b 【解析】 因为a＝>0，b＝>0，由＝＝<1，可得a<b. 令h(x)＝ln x－，x>1，则h′(x)＝－＝>0， 则h(x)＝ln x－在(1，＋∞)上单调递增， 又h(1)＝0， 则h(x)>0恒成立，即当x>1时，ln x>恒成立， 则ln 2>＝，则c＝2<. 令m(x)＝ex－x－1，x>0，则m′(x)＝ex－1>0恒成立， 所以m(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)上单调递增， 又m(0)＝e0－0－1＝0， 则m(x)>0恒成立，即x>0时，ex>x＋1恒成立， 所以＝e>＋1＝，则a＝>，则a＝>>>2＝c， 综上，c<a<b. 5.设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则(　C　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b 【解析】 设f(x)＝ln (1＋x)－x(x>－1)，因为f′(x)＝－1＝－， 当x∈(－1，0)时，f′(x)>0，当x∈(0，＋∞)时f′(x)<0， 所以函数f(x)＝ln (1＋x)－x在(0，＋∞)上单调递减，在(－1，0)上单调递增， 所以f<f(0)＝0，所以ln －<0，故>ln ＝－ln 0.9，即b>c， 所以f<f(0)＝0，所以ln ＋<0， 故<－ln ＝－ln 0.9，所以e<， 故a<b. 设g(x)＝xex＋ln (1－x)(0<x<1)，则g′(x)＝ex＋＝， 令h(x)＝ex(x2－1)＋1，则h′(x)＝ex(x2＋2x－1)， 当0<x<－1时，h′(x)<0，函数h(x)＝ex(x2－1)＋1单调递减， 当－1<x<1时，h′(x)>0，函数h(x)＝ex(x2－1)＋1单调递增， 又h(0)＝0， 所以当0<x<