第6章 6.4.3 第2课时 正弦定理-(教师用书word)【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

第2课时　正弦定理 学习任务目标 　　1.掌握正弦定理的内容及其证明方法． 　　2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解三角形. (1)余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. (2)余弦定理的推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝. 知识点　正弦定理 (1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝. (2)正弦定理的常见变形 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)． ②sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)． ③三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. ④＝＝＝. ⑤asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B. (3)利用正弦定理可以解决的两类问题 ①已知两角和一边，解三角形； ②已知两边和其中一边的对角，解三角形． [微训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)正弦定理对任意的三角形都成立． (√) (2)在△ABC中，等式bsin C＝csin B恒成立． (√) (3)在△ABC中，已知a，b，A，则能求出唯一的角B. (×) (4)任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素． (×) (5)在△ABC中，若A＞B，则必有sin A＞sin B. (　　) √　提示：A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. (6)在△ABC中，＝. (　　) √　提示：设＝＝＝2R， 则a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可知结论正确． 2．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝ (　　) A. B. C. D.1 B　解析：由＝，知＝，即sin B＝.故选B. 已知两角及一边解三角形 1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于(　　) A．5 B．10 C． D．5 C　解析：由A＋B＋C＝180°，知C＝45°. 由正弦定理＝，得＝， 解得c＝. 2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝1. 解析：因为sin B＝，且B∈(0，π)， 所以B＝或B＝.又C＝， 所以B＝，A＝π－B－C＝. 又a＝，由正弦定理＝， 得＝， 解得b＝1. 3．已知△ABC的外接圆半径是2 cm，∠A＝60°，则BC边的长为2 cm. 解析：∵＝2R， ∴BC＝2Rsin A＝4sin 60°＝2(cm)． 已知两边及一边的对角解三角形 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知三角形的两边a，b及A，试根据正弦定理探究下列问题． 探究1：若a>b，试分析三角形解的个数． 提示：首先由正弦定理求出sin B的值，然后由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断B为锐角，则根据正弦值可求锐角唯一． 探究2：若a<b，试分析三角形解的个数． 提示：由正弦定理求出sin B的值，不能判断B是否为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论． 【例1】在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 C　解析：由正弦定理＝， 得sin B＝＝＝>1. 所以角B不存在，即满足条件的三角形不存在． 【例2】在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，求△ABC中其他边与角的大小． 解：由正弦定理，得＝， ∴sin C＝＝＝. ∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°， b＝＝＝＋1； 当C＝120°时，B＝15°， b＝＝＝－1. ∴b＝＋1，B＝75°，C＝60° 或b＝－1，B＝15°，C＝120°. 1．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝75°. 解析：由正弦定理，得sin B＝＝＝. 因为0°＜B＜180°， 所以B＝45°或135°. 因为b＜c，所以B＜C，故B＝45°， 所以A＝180°－60°－45°＝75°. 2．在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，求边c的长． 解：由＝，得sin B＝＝. ∵a<b，∴B>A＝30°， ∴B为60°或120°. 当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°. 此时，c＝＝＝2. 当B＝120°时，C＝180°－120°－30°＝30°. 此时，c＝a＝1. 综上知c＝1或2. 正弦定理的综合应用 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a