第6章 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例-(教师用书word)【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

6.4　平面向量的应用 6.4.1　平面几何中的向量方法 6.4.2　向量在物理中的应用举例 学习任务目标 　　1.会用向量方法解决物理中的力学问题． 　　2.会用向量方法解决物理中的速度问题． 　　3.会用向量方法解决平面几何中的相关问题. 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ. (1)平面向量的夹角公式 cos θ＝＝. (2)模 |a|＝＝. (3)共线向量定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0. 知识点一　用向量解决常见平面几何问题的技巧 问题类型 知识点 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量 长度问题 数量积的性质 |a|＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量 [微训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若∥，则直线AB与直线CD平行． (×) (2)若△ABC是直角三角形，则必有·＝0. (×) (3)||＝. (√) 2．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC是(　　) A．正三角形 B.直角三角形 C．等腰三角形 D.形状无法确定 C　解析：(＋)·(－)＝2－2＝0，即||＝||，∴CA＝CB，则△ABC是等腰三角形． 知识点二　向量在物理中的应用举例 (1)向量的线性运算在物理中的应用 ①用向量解决力的问题，通常把向量的起点平移到同一个作用点上． ②向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算． (2)向量的数量积在物理中的应用 物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos θ，功是一个实数，它可正可负，也可以为零．力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积． [微训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)功是力F与位移s的数量积． (√) (2)力的合成与分解体现了向量的加、减法运算． (√) (3)某轮船需横渡长江，船速为v1，水速为v2，要使轮船最快到达江的另一岸，则需保持船头方向与江岸垂直． (√) 2．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为(　　) A．7 B.10 C．14 D.70 D　解析：F做的功为F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14×＝70. 向量在物理中的应用 1．若向量＝(2,2)，＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　) A．(0,5) B.(4，－1) C．2 D.5 D　解析：因为F1＋F2＝＋＝(0,5)，所以|F1＋F2|＝5. 2．船在静水中的速度是v1，水速为v2，则逆水行驶的速度为(　　) A．v1－v2 B.v2－v1 C．v1＋v2 D.|v1|－|v2| C　解析：由题易知，选项C正确． 3．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具质量为10 N，则每根绳子的拉力大小为10N. 解析：如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，则||＝||＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N. 利用向量证明平面几何问题 【例1】如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋， ＝＋＝b＋， 所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0， 故⊥，即AF⊥DE. 【例2】如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF. 证明：设正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系． 设P(x，x)，则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)， 所以＝(x，x－1)，＝(1－x，x)． 由于·＝x(1－x)＋x(x－1)＝0， 所以⊥，即DP⊥EF. 【类题通法】 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)利用向量的线性运算解决平面几何问题，基本步骤为：①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；④把几何问题向量化． (2)利用向量的坐标运算解决平面几何问题，基本步骤为：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③利用向量的坐标运算找出相应关系；④把几何问题向量化． 1．在△ABC中，O为BC中点，