6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第二册）

6.4.1-6.4.2　平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例 【考点梳理】 考点一　向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 考点二　向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 技巧：(1)用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解. ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解. ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 【题型归纳】 题型一：用向量证明线段垂直问题 1．（2022·全国·高一专题练习）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（2022春·山东菏泽·高一统考期末）如图，在中，已知，，，且.求. 3．（2022春·全国·高一期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，. (1)用表示； (2)如果，用向量的方法证明：. 题型二：用向量解决夹角问题 4．（2022春·四川·高一四川省峨眉第二中学校校考阶段练习）若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 5．（2019春·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）直角三角形中，，，，M为的中点，，且P为与的交点，则（    ） A． B． C． D． 6．（2022春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，． (1)求和的值； (2)若，，，求与所成角的余弦值． 题型三：用向量解决线段的长度问题 7．（2022春·福建福州·高一福州四中校考期末）平面内不同的三点O，A，B满足，若，的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 8．（2022春·云南·高一云南师大附中校考期中）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（    ） A． B．3 C． D． 9．（2021春·江西九江·高一九江一中校考期中）在中，，点满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型四：向量在物理中的应用 10．（2022春·陕西宝鸡·高一统考期末）已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为 （    ） A． B． C． D． 11．（2022春·山东烟台·高一烟台二中校联考期中）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（    ） A． B． C． D． 12．（2022春·北京通州·高一统考期中）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A．， B．， C．， D．， 题型五：向量与几何最值问题 13．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）如下图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（2022春·湖南张家界·高一统考期末）如图，在梯形ABCD中，，，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．（2022·浙江·高一校联考期中）在△中，已知，，，设点为边上一点，点为线段延长线上的一点，且. (1)当且是边上的中点时，设与交于点，求线段的长； (2)若，求的最小值. 【双基达标】 一、单选题 16．（2022春·山东临沂·高一）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的