专题22线面角大题专练A卷-2023届高三数学二轮专题复习

专题22线面角大题专练A卷 1. 如图,四棱锥中,,,,,为正三角形. Ⅰ求证:; Ⅱ若在线段上有点,使得点到平面的距离为, 求直线与平面所成角的正弦值. 2. 如图所示,四棱柱的底面是菱形,侧棱垂直于底面,点,分别在棱,上,且满足,,平面与平面的交线为. 证明:直线平面; 已知,,设与平面所成的角为,求的取值范围. 3. 如图,在三棱柱和四棱锥构成的几何体中,平面,,,,,,平面平面. Ⅰ若点为棱的中点,求证:平面; Ⅱ已知点是线段上靠近的三等分点,求直线与平面所成角的正弦值. 4. 如图,在正方体中,为的中点. Ⅰ求证:平面; Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值. 5. 如图所示,在四棱锥中,,,,. 证明: 求直线与平面所成角的余弦值. 6. 如图,在直三棱柱中,,点为棱的中点,与相交于点. 证明:平面; 若,,点为线段上一点,直线与平面所成的角的正弦值为,求的值. 7. 如图,在四棱锥中,为等边三角形,平面平面,,二面角的大小为. 证明:平面 已知,为线段上的点,若直线与平面所成角的正弦值为,求线段的长度. 8. 在四棱锥中,平面,,,,,,是的中点,在线段上,且满足. Ⅰ求证:平面; Ⅱ求二面角的余弦值; Ⅲ在线段上是否存在点,使得与平面所成角的余弦值是,若存在,求出的长;若不存在,请说明理由. 答案和解析 1.【答案】解:Ⅰ取中点,连接, ,,,则四边形为矩形,则 , 又为正三角形,所以, ,所以, 又,,平面, 所以平面,平面, 所以, 又 ,所以; Ⅱ由Ⅰ知,,,平面, 故平面, ,点到平面的距离为,所以, 如图,以为原点,,所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系, 则, 由,可得,, 设平面的一个法向量为, 由得可取, ,设与平面所成角为, 则, 所以直线与平面所成角的正弦值为 2.【答案】证明:如图示:连接与交于点, 由条件可知,且,四边形为平行四边形,且, 平面,平面平面, 平面平面,故AC, 四棱柱的底面是菱形,且侧棱垂直于底面,平面, 故AC,, 平面平面又, 故AC平面, 平面, 解:如图示: 由可知,,过点作轴垂直与平面,以为坐标原点,分别以,的方向为,轴的正方向建立空间坐标系, 设,,, 则,, 故B,,, 由可知是平面的一个法向量,而, 故,, 当时,,即 3.【答案】解:Ⅰ,且为棱的中点,, 平面平面,平面平面,平面, 平面, 平面,, 又,平面, 平面, , 平面,平面, 平面. Ⅱ如图建立空间直角坐标系, 由题意,,, ,,,, ,,, 设平面,, 则 设直线与平面所成角为, 则, 直线与平面所成角的正弦值为. 4.【答案】解:Ⅰ方法一:几何法 如下图所示: 在正方体中,且,且, 且,所以,四边形为平行四边形,则, 平面,平面,平面; 方法二空间向量坐标法 以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系, 设正方体的棱长为, 则、、、,,, 设平面的法向量为,由,得 令,则,,则. 又向量,, 又平面,平面; Ⅱ方法一:几何法 延长到,使得,连接,交于, 又,四边形为平行四边形,, 又,,所以平面即平面, 连接,作,垂足为,连接, 平面,平面,, 又,直线平面, 又直线平面,平面平面, 在平面中的射影在直线上, 直线为直线在平面中的射影,为直线与平面所成的角, 根据直线直线,可知为直线与平面所成的角. 设正方体的棱长为,则,, , , , 即直线与平面所成角的正弦值为. 方法二:向量法 接续Ⅰ的向量方法,求得平面平面的法向量, 又, , 直线与平面所成角的正弦值为. 方法三:几何法体积法 如图,设的中点为,延长,易证三线交于一点. 因为, 所以直线与平面所成的角,即直线与平面所成的角. 设正方体的棱长为,在中,易得, 可得. 设在平面的投影为, 由,得, 整理得. 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 方法四:纯体积法 设正方体的棱长为,点到平面的距离为, 在中,, , 所以,易得. 由,得,解得, 设直线与平面所成的角为,所以. 5.【答案】解:连接,设的中点为,连接,. 因为,所以, 因为,所以, 又,平面,平面, 所以平面, 因为平面,所以; 因为,所以,又, 所以,所以, 又,平面,平面, 所以平面. 如图,以为原点,,所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系, 则,,,,, 所以,, ,设平面的一个法向量为, 所以,即取,则, 设与平面所成的角为,则, 则直线与平面的夹角余弦值为. 6.【答案】证明:取中点,连接,, 直三棱柱中, 所以四边形为矩形, 因为,所以点为中点, 又点为棱的中点, 所以,且,,且, 所以,且, 所以四边形为平行四边形 所以, 因为平面,平面,所以平面. 解:以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,