6.3.1 平面向量基本定理（精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教A版2019必修第二册)

6.3.1 平面向量基本定理 重点：理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量 难点：利用向量法解决平面几何中的其他问题 一、平面向量基本定理 1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3、对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 二、平面向量基本定理的应用 1、平面向量基本定理唯一性的应用： 设，是同一平面内的两个不共线向量， 若，则 （2）重要结论设是平面内一个基底， 若， ①当时，与共线；②当时，与共线；③当时，； 题型一 对基底的理解与辨析 【例1】（2022春·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期末）（多选）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（ ） A．给定向量，总存在向量，使； B．给定向量和，总存在实数和，使； C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使； D．若，存在单位向量和正实数，使，则. 【变式1-1】（2022春·广西桂林·高一校考期中）设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1-2】（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2022春·甘肃武威·高一统考期末）如图所示，每个小正方形的边长都是1，则下列说法正确的是（ ） A．，是该平面所有向量的一组基底， B．，是该平面所有向量的一组基底， C．，不是该平面所有向量的一组基底， D．，不是该平面所有向量的一组基底， 题型二 用基底表示向量 【例2】（2022·高一单元测试）如图，在中，为的中点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022春·重庆巴南·高一重庆市实验中学校考期末）在中，，，若点满足，以为基底，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2022春·山东济宁·高一统考期中）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且满足．下列关系式正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022春·河北邯郸·高一统考期末）如图，在平面四边形中，，，，，、分别是，的中点，为线段上一点，且.设，. （1）若，以，为基底表示向量与； （2）若，求的取值范围. 题型三 利用平面向量基本定理求参数 【例3】（2021春·山东·高一阶段练习）已知G是的重心，点D满足，若，则为（ ） A． B． C． D．1 【变式3-1】（2022·高一单元测试）在中，点线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2022春·安徽芜湖·高一统考期末）如图，O是△ABC的重心，D是边BC上一点，且，，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2022春·安徽黄山·高一统考期末）已知是所在平面内的一点，，，所对的边分别为，，，若，过作直线分别交、(不与端点重合)于、，若，，若与的面积之比为，则（ ） A． B． C． D． 题型四 平面向量基本定理的应用 【例4】（2022·高一单元测试）如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ） A．-3 B． C． D． 【变式4-1】（2022·高一课时练习）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ） A． B．3 C． D． 【变式4-2】（2017·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习）设为锐角的外心（三角形外接圆圆心），．若，则（ ） A． B． C．