5.3 导数在研究函数中的应用（课时1 函数的单调性）-2022-2023学年高二数学同步高效课堂重难点讲练课件（人教A版2019选择性必修第二册）

第五章 一元函数的导数及其应用 5.3 导数在研究函数中的应用 榆次一中 数学教研组 1 课时1 函数的单调性 2 学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系．（数学抽象、逻辑推理、直观想象） 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法．（数学抽象、逻辑推理） 3.会用导数求函数的单调区间．（逻辑推理、数学运算） 返回至目录 3 自主预习·悟新知 合作探究·提素养 随堂检测·精评价 4 1.我们知道判断函数 <m></m> 的单调性可以用定义法、图象法，对于函数 <m></m> ，如何判断它的单调性呢？ [答案] 定义法是解决问题的根本方法，但是定义法较烦琐，又不能画出它的图象.通过前面的学习，我们可以通过研究函数的导数来判断它的单调性． 预学忆思 自主预习·悟新知 YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL 返回至目录 5 2.函数 <m></m> 的单调性与导数有什么关系？ [答案] 在区间 上，如果 ，那么函数 在区间 上单调递增；在区间 上，如果 ，那么函数 在区间 上单调递减． 3.如何利用导数求函数 <m></m> 的单调区间？ [答案] 先求定义域，令 ，结合定义域得单调递增区间，令 ，结合定义域得单调递减区间． 返回至目录 6 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 若函数 在 上单调递增，则一定有 ．( ) × （2） 若 ， ，则函数 在 上单调递增．( ) √ （3） 若 ， ，则函数 在 上不单调．( ) × （4） 已知 是定义在 上的可导函数，若 ， ，则 ．( ) √ 自学检测 返回至目录 7 2.下列函数中，在 上单调递增的是( ). A. B. C. D. B [解析] ， ， ， ，当 时，只有 恒成立． 3.已知函数 的导函数 的图象如图所示，则函数 的单调递增区间为__________________． <m></m> 和 <m></m> [解析] ∵当 或 时， ， ∴函数 的单调递增区间为 和 ． 返回至目录 8 4.证明函数 <m></m> 在 <m></m> 上单调递减． [解析] ， ， （当且仅当 时，等号成立）， ， 在 上单调递减． 返回至目录 9 探究1 函数的单调性与导数 问题1：如图，这是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度 随时间 变化的函数 的图象以及其速度 随时间 变化的函数 的图象，试说明运动员从起跳到最高点以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 情境设置 合作探究·提素养 YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL 返回至目录 10 [答案] （1）通过观察图象，可以发现：运动员从起点到最高点，离水面的高度 随时间 的增加而增加，即 单调递增，相应地， ； （2）运动员从最高点到入水，离水面的高度 随时间 的增加而减小，即 单调递减，相应地， ． 返回至目录 11 问题2：观察下面一些函数的图象，探究函数的单调性和导数正负的关系． （1） （2） （3） （4） 返回至目录 12 [答案] 图象（1）中，在区间 上， ， 是增函数； 图象（2）中，在区间 上， ， 是减函数，在区间 上， ， 是增函数； 图象（3）中，在区间 上， ， 是增函数； 图象（4）中，在区间 ， 上， ， 是减函数． 返回至目录 13 新知生成 1.一般地，函数 的单调性与其导数 有如下关系： 导数的符号 不等式的解集 函数的单调性 单调区间 单调递增 递增区间 单调递减 递减区间 2.对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明: （1）若在某区间上有有限个点使 ，在其余的点恒有 ，则 仍为增函数（减函数的情形完全类似）； （2） 为增函数的充要条件是对任意的 都有 且在 内的任一非空子区间上 不恒为0． 返回至目录 14 新知运用 例1 利用导数判断下列函数的单调性. （1） ；（2） ；（3） ． [解析] （1）因为 ，所以 ，所以函数 在 上单调递增． （2）因为 ， ， 所以 ，所以 在 上单调递增． （3）因为 ， ，所以 ，所以 在 上单调递减． 返回至目录 15 例2 求函数 <m></m> 的单调区间. [解析] 由题意可知， . 令 ，解得 或 ， 所以当 或 时， ，函数 是增函数； 令 ，解得 ， 所以当 时， ，函数 是减函数. 综上所述，函数 的单调递增