4.5.1 函数的零点与方程的解课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 4.5 函数的应用(二) 4.5.1 函数的零点与方程的解 1 学习目标 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.(易混点) 2.会求函数的零点.(重点) 3.掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数.(难点) 2 温故知新、巩固基础 NO.1 3 P50 一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点. 对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 特殊 一般 函数零点的概念 4 初步探索、直观感知 NO.2 5 初步探索 直观感知 1.求下列方程的根. ①x-2=0 ②x2-2x-3=0 ③log2x=0 2.依次画出对应的函数的图象 ①y=x-2 ②y=x2-2x-3 ③y=log2x 1 -1 -2 -1 2 1 0 方程的根就是对应函数图象与x轴交点的横坐标 x y O -1 3 问题1:方程的根与相应函数图象有什么联系? 3 2 1 -1 -1 2 1 0 6 等价关系 方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)的有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. 7 练习1:求下列函数的零点 合作互动、探究新知 NO.3 9 探究:如图所示,有位同学想过河,渡过河流的路线有 哪些?请动手画一画。 B x A 若将河流抽象成x轴,前后的两个位置视为A、B两点,请大家用连续不断的曲线画出她的可能路径. B x y O b a 端点函数值异号 即f(a)·f(b) < 0 若所画曲线能表示为函数,设A点横坐标为a, B点横坐标为b。 A 思考:这些函数图象与 x 轴有什么关系? 思考:怎样用数学符号表示零点存在的条件? 思考:如图所示,这些函数图象有零点吗? 0 y x 0 y x 思考:如果f(a)·f(b) < 0,但图象是不连续的,函数f(x)一定有零点? 端点函数值异号f(a)·f(b) < 0 + 函数图象 是连续 函数有零点 注:只有上述两个条件同时满足,才能判断函数在指定区间内存在零点. 函数零点存在定理 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有 f(a) f(b)<0 ,那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内至少有一个零点,即存在 c ∈ (a,b),使得 f(c) =0,这个c也就是方程 f(x)=0 的解. 练习1:求零点所在的区间 (1)若函数 y=f(x)在区间[a,b]上满足 f(a)f(b) <0,则 y =f(x)在区间(a,b)内一定 有零点. ( ) (2)若函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且 f(a)f(b)<0, 则y=f(x)在区间(a,b)内有唯一零点. ( ) 练习2:判断下列命题是否成立 × × 函数图象连续不可少 函数零点存在定理只能用来判断函数是否存在零点,但不能判定函数零点的个数. 拓展延伸、思维提升 NO.4 16 单调函数 0 y x 问题3:什么情况下有唯一一个零点? 探究:已知函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象如下图,则函数 y=f(x) 在区间 [a,b]内有几个零点? 五个 1 -1 -2 -1 2 1 0 3 2 1 -1 -1 2 1 0 问题3:什么情况下有唯一一个零点? 探究:已知函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象如下图,则函数 y=f(x) 在区间 [a,b]内有几个零点? 函数图象连续 f(a)·f(b) < 0 函数在区间内单调 函数有唯一零点 + + 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)·f(b) < 0,且是单调函数,那么这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点. 函数零点存在定理的推论 x 0 -2 -4 -6 10 5 y 2 4 10 8 6 12 14 8 7 6 4 3 2 1 9 由上表和右图可知,定义域内是连续的 f(2)<0, f(3)>0, 即f(2) f(3)<0, 由函数零点存在定理可知, 这个函数在区间(2,3)内至少有一个零点. 解:用计算工具作出x、f(x)的对应值表和图象 . . . . . . . . . 容易证明,函数f(x)=lnx+2x-6,x∈(0,+∞)是增函数,所以它只有一个零点. 函数f(x)=lnx+2x-6是否有零点?如何判断?若零点存在,有几个零点? 解法1 y=-2x +6 y=lnx 6 0 x 1 2 3 4 y 由图可知,这两个函数的图象只有一个交点, 即方程只有一根. 即求方程 lnx=-2x+6的解的个数, 即判断函数y=lnx与函数y=-2x+6图像的交点个数. 解:求函数f(x)=lnx+