广东省东莞市第四高级中学2022-2023学年高三上学期数学寒假作业1

广东省东莞市2022-2023学年高三上学期寒假作业1 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 一、单选题 1.若集合,则= A. B. C. D. 2.计算( ) A. B. C. D. 3.设为等差数列的前项和,,,则= ( ) A.6 B.9 C.12 D.8 4.已知,,若与垂直,则的值是( ) A.1 B. C.0 D. 5.杭州亚运会启动志愿者招募工作,甲､乙等6人报名参加了､､三个项目的志愿者工作,因工作需要,每个项目仅需1名志愿者,每人至多参加一个项目,若甲不能参加､项目,乙不能参加､项目,那么共有( )种不同的选拔志愿者的方案. A.36 B.40 C.48 D.52 6.若为锐角,,则( ) A. B. C. D. 7.设长方体的长、宽、高分别为、、,其顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为( ) A. B. C. D. 8.已知函数的图象关于直线对称,当时,,若,,,则的大小关系是( ) A. B. C. D. 二、多选题 9.已知,下列说法正确的是( ) A.在处的切线方程为 B.的单调递减区间为 C.的极大值为 D.方程有两个不同的解 10.平面直角坐标系中,设点、、、,若对任意实数、、、,不等式都成立,则实数的最值是( ) A. B. C. D. 11.如图,在四棱柱中,,,直线与所成的角为60°,,三棱锥的体积为,则( ) A.四棱柱的底面积为 B.四棱柱的体积为 C.四棱柱的侧棱与底面所成的角为45° D.三棱锥的体积为 12.命题是真命题的是( ) A.方程的有一个正实根,一个负实根,则; B.函数的定义域是,则函数的定义域为; C.一条曲线和直线的公共点个数是,则的值不可能是1; D.若则. 三、填空题 13.已知随机变量,且,则_. 14.点关于直线的对称点是_. 15.已知椭圆的左、右焦点为,,点P为椭圆上动点,则的取值范围是_. 16.过点能作曲线的切线_条,切点坐标为_ 四、解答题 17.(1)在等差数列中,公差,前项和,求及; (2)在等比数列中,已知公比,前5项和,求. 18.△ABC的内角A,B,C的对边分别为,若,,. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求△ABC的面积. 19.为了解某地中小学生的近视形成原因,教育部门委托医疗机构对该地所有中小学生的视力做了一次普查.现该地中小学生人数和普查得到的近视情况分别如图1和图2所示. (1)求该地中小学生的平均近视率(保留两位有效数字); (2)为调查中学生用眼卫生习惯,该地用分层抽样的方法从所有初中生和高中生中确定5人进行问卷调查,再从这5人中随机选取2人继续访谈,则此2人全部来自高中年级的概率是多少? 20.如图,在四棱锥中,底面,,,,,点E为棱的中点. (1)证明:平面; (2)若F为棱上一点,且满足,求二面角的余弦值. 21.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为 ,点在双曲线E上. (1)求双曲线E的标准方程; (2)若动直线l与双曲线E相切,过点作直线l的垂线,垂足为H,试判断是否为定值?如果是,请求出该值;如果不是,请说明理由. 22.已知函数,. (1)对任意的,成立,求实数的取值范围; (2)若,证明:. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 1.B 2.D 3.B 4.B 5.D 6.B 7.D 8.D 9.BC 10.AC 11.ABC 12.ABC 13.0.9 14. 15. 16. 或 17. 【详解】(1)由题意得 由得.代入后化简得 解得或(舍去),从而. (2)由,解得,所以. 18.(Ⅰ) ;(Ⅱ). 【分析】(Ⅰ)先根据诱导公式以及两角和正弦公式求 ,再根据正弦定理求的值;(Ⅱ)根据三角形面积公式求结果. 【详解】(Ⅰ)在△ABC中, 由得, 由得, == 由正弦定理得, 从而 (Ⅱ) 19. 【详解】(1)近视率; (2)根据分层抽样的特点,高中取2名,初中取3名, 记高中两名为,初中3名为, 则所有等可能结果为 共10个, 记事件为“此2人全部来自高中年级”有,共1个, . 【点睛】本题考查古典概型概率计算,考查数据处理能力,求解时注意列出所有等可能结果,再求概率. 20. (1)证明:取PD中点M,连接AM,EM, 由于E,M分别为PC,PD的中点, 故EM∥DC,且EM=DC, 又因为AB∥CD,AB=DC, 所以EM∥AB且EM=AB, 故四边形ABEM为平行四边形 所以BE∥AM,且BE⊄平面PAD,AM⊂平面PAD, 所以 BE∥平面PAD (2) 以A为原点,AB、AD、AP所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(