6.3 平面向量基本定理及坐标表示-【三维同步讲练】2022-2023学年高一数学同步精讲系列【知识点·方法·题型】（人教A版2019必修第二册）

6.3 平面向量基本定理及坐标表示 1.了解平面向量的基本定理及意义. 2.能正确地运用平面向量的基本定理表示平面内的任意向量． 3.了解向量的基底与向量的关系，并能准确选择向量的基底表示向量. 4.掌握平面向量的正交分解及坐标表示，理解平面向量与坐标之间的对应关系，为用坐标来进行向量的运算奠定基础． 5.理解用坐标表示的平面向量共线的条件，会根据平面向量的坐标判断向量是否共线． 6.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法减法. 7.掌握实数与向量的积的坐标运算法则进行有关的运算． 8.理解用坐标表示的平面向量共线的条件，会根据平面向量的坐标判断向量是否共线. 9.理解与掌握平面向量数量积的坐标表示及数量积的坐标公式； 10.掌握向量数量积坐标表示的相关运算公式及运算定律； 11.掌握平面两向量的垂直、共线的坐标表示及判定方法与性质； 12.能利用平面向量的位置关系求待定参数，并能解决与数量积有关的计算、求值问题. 解读：1.通过本节课的学习，要求理解与掌握平面向量的基本定理，会用同一平面内两个不共线的向量作为基底表示平面内的向量，并且选择更加有利于解决问题的基底表示向量. 2.通过本节课的学习要求掌握平面向量的坐标表示，会求向量的坐标及模，掌握向量的正交分解，掌握向量的几何表示与代数表示. 3.通过本节课的学习，要求会利用坐标来表示平面向量的加、减运算. 4.通过本节课的学习，要求能掌握平面向量的数乘运算，并能解决与共线相关的线性运算及判断. 5.通过本节课的学习，要求掌握与平面向量数量积有关的计算、运算性质、运算定律，并能根据平面向量的平行、垂直等位置关系，进行向量数量积的有关求值与待定参数的解决问题. 知识点1　 平面向量基本定理★★★ 平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2．其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底． （1）基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； （2）若基底给定，则同一向量的分解形式唯一； （3）如果对于一组基底e1，e2，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，则可以得到． 平面向量基本定理的作用： 由平面向量基本定理知，在平面内任取两个不共线的向量作基底，平面内的任一向量都可用这一组基底表示出来．但在选取基底时，应尽量使用有利于解决问题的基底． 【例题精析1】 设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例题精析2】 在中，点满足，则（     ） A． B． C． D． 【例题精析3】 在平行四边形中，对角线与交于点为中点，与交于点，若 ，则（    ） A． B． C． D． 【例题精析4】 （多选）已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（    ） A．若实数m，n使，则 B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数 C．对于m，，不一定在该平面内 D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使 【例题精析5】 在中，点D在边BC上，且，若，则___________. 【例题精析6】 设G为的重心，过点G作直线分别交AB､AC于P，Q.已知，，求的值. 【对点精练1】 若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【对点精练2】 设D为△ABC所在平面内一点，则（    ） A．B．C． D． 【对点精练3】 已知在平行四边形 中，，线段 交于点O，则=（    ） A． B． C． D． 【对点精练4】 在平行四边形中，是线段的中点，若，则_________. 【对点精练5】 已知是两个不共线的非零向量，若与共线，则_____________． 【对点精练6】 在三角形ABC中，已知D，E分别为CA，CB上的点，且，，AE与BD交于O点，若，则mn的值为___________. 知识点2　 平面向量的正交分解和坐标表示★★★ 平面向量运算的正交分解及坐标表示 （1）向量的分解 一个平面向量a用一组基底e1，e2表示成a=λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的形式，我们称之为向量的分解． （2）向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．这两个互相垂直的向量称为正交基底． 【微点拨】 （1）相等的向量坐标相同； （2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关，只与其相对位置有关． 在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转