数列求通项专题 讲义-2023届高三数学一轮复习

数列求通项专题 类型1.等差数列:相邻两项递推形式:为常数,)或者相邻三项递推形式:. 例1.已知数列的前项和为,满足,,则( ) A. B. C. D. 解析:∵,- = 1,∴是以1为首项,以1为公差的等差数列, ∴,即,∴().当时,也适合上式,.故选:A. 注:在等差数列中,有一类比较特殊的递推类型,即,它可以得到两个子数列分别是公差为的等差数列. 例2.已知数列的前n项和为,且,,则数列的前2021项的和为( ) A. B. C. D. 解析:∵,,∴,解得. ,∴,两式相减,得,数列的奇数项与偶数项均为公差为4的等差数列,当为偶数时,. 当为奇数时,为偶数,∴根据上式和(*)知,数列的通项公式是,易知是以2为首项,2为公差的等差数列, 故,,设的前n项和为, 则.故选:A. 例3.数列中,.求的通项公式; 解析:(1)由①②,②-①, ∴的奇数项与偶数项各自成等差数列,由,∴, ∴,∴,n为奇数,,∴,n为偶数.∴. 类型2.等比数列:相邻两项递推:或. 或者相邻三项递推:. 注:在等比数列应用中,有一类比较特殊的递推类型,即,我们可以对其赋值得到一个等比数列. 例4.数列中,,对任意有,若,则( ) A. B. C. D. 解析:由任意都有,所以令,则,且,所以是一个等比数列,且公比为,则 所以,故选:D. 例5.已知数列满足且,.求通项; 解析:当为奇数时,由知数列是公差为2的等差数列, ,∴,为奇数;当为偶数时,由知数列是公比为2的等比数列,,∴,为偶数∴. 类型3.累加型 例6.若数列满足,.求的通项公式. 解析:因为,,所以,故. 类型4.()累乘型. 例7.数列及其前n项和为满足:,当时,,则( ) A. B. C. D. 解析:当时,,即,所以 累乘得:,又,所以 所以 则 . 故选:C. 类型5.型(待定系数法) 一般形式:为常数,,可以构造一个等比数列,只要在每一项同加上一个常数即可,且常数,,令,则为等比数列,求出,再还原到,. 例8.在数列中,,.求的通项公式. 解析:依题意,数列中,,,所以,所以数列是首项为,公比为的等比数列. 例9.已知数列满足,证明是等比数列,并求的通项公式. 解析:显性构造:,,. 类型6.型 例10.已知数列的首项,且满足.求数列的通项公式; 解析:∵,∴,∴,又∵,故是以2为首项,2为公比的等比数列.,则. 类型7.型. 法1.数学归纳法. 法2.,令,则,用累加法即可解决 例11.设数列满足,. (1)计算,,猜想的通项公式并加以证明; (2)求数列的前n项和. 解析:法1:归纳法. (1) 猜想 得, ,…….因为,所以 法2:构造法. 由可得:,累加可得:. (2)由(1)得,所以 . ① .② 得, 类型8.型 例12.已知数列满足,,求数列的通项公式. 因为,所以,即,又,所以,所以数列为首项为1,公差为1的等差数列,所以,故,所以数列的通项公式为. 类型9.已知与关系,求. 解题步骤: 第1步:当代入求出; 第2步:当,由写出; 第3步:(); 第4步:将代入中进行验证,如果通过通项求出的跟实际的相等,则为整个数列的通项,若不相等,则数列写成分段形式, 在本考点应用过程中,具体又可分为消留,消留, 例13.已知数列的前项和为,,. 证明:数列是等差数列. 证明:∵,∴,易知,∴, ∴数列是公差为2的等差数列. 例14.设数列的前项和为,且满足,. 求. 解析:因为,所以, 则,,即为首项为,公差为的等差数列, 则,故. 例15.已知数列满足.求数列的通项公式. 解析:,①当时,.当时,,②由①-②,得, 因为符合上式,所以. 例16.(2022新高考1卷)记为数列的前项和,已知,是公差为的等差数列.求得通项公式. 解析:,所以,所以是首项为,公差为的等差数列,所以,所以.当时,, 所以,即();累积法可得:(),又满足该式,所以得通项公式为. 类型9:已知前项积求. 例17. 记为数列的前n项和,为数列的前n项积,已知. (1)证明:数列是等差数列; (2)求的通项公式. 解析:由已知得,且,,取,由得, 由于为数列的前n项积,所以, 所以,所以,由于,所以,即,其中,所以数列以为首项,以为公差等差数列. (2)由(1)可得,数列是以为首项,以为公差的等差数列, ,,当n=1时,, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴. ( 1 ) 学科网(北京)股份有限公司 $