2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与线段周长问题

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与线段周长问题 1．如图，抛物线交轴于，两点（点在的右边），与轴交于点，连接，．点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，交于点． (1)求、两点坐标； (2)过点作，垂足为点，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ (3)试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 2．综合与探究 如图，已知二次函数的图象与x轴交于两点（点A在点C左侧），与y轴交于点B，直线经过两点，点P是直线上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，过点P作轴于点F，交直线于点D． (1)求的值； (2)求线段的最大值； (3)连接，将线段绕点F逆时针旋转得到线段，是否存在这样的点E，使点E恰好落在抛物线上．若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由． 3．已知抛物线，与x轴交于两点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （Ⅰ）求点A，B和点C的坐标； （Ⅱ）已知P是线段上的一个动点． ①若轴，交抛物线于点Q，当取最大值时，求点P的坐标； ②求的最小值． 4．如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B． （1）求点B的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为线段OA上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N． ①试用含m的代数式表示线段PN的长； ②求线段PN的最大值． 5．如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接、，且点是线段的中点，连接． （1）如图2，点是直线上方抛物线上的一动点，在线段上有一动点，连接、、，当面积最大时，求的最小值； （2）将过点的直线绕点旋转，设旋转中的直线分别与直线、直线交于点、，当为等腰三角形时，直接写出的长．      6．已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与二次函数的图象交于，两点，其中点的坐标为，点在轴上． （1）求的值及这个二次函数的解析式； （2）在轴上找一点，使的周长最小，并求出此时点坐标； （3）若是轴上的一个动点，过作轴的垂线分别于直线和二次函数的图象交于，两点．当时，求线段的最大值； 7．如图，直线与抛物线交于、两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，抛物线的对称轴与直线交于点． （1）当四边形是菱形时，求点的坐标； （2）若点为直线上一动点，求的面积； （3）作点关于直线的对称点，以点为圆心，为半径作，点是上一动点，求的最小值． 8．如图，抛物线y = x2+bx+c过点A (-1，2)，且关于y轴对称，点C与点B(a，0)(a＞1)关于原点对称，直线AC交抛物线于点D． （1）求此抛物线的解析式； （2）连接OA，BD，当OA//BD时，求a的值； （3）若直线AC交抛物线于E，F两点(点E在点F的左侧)，且EA=DF，求直线AC的解析式． 9．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，4)，在x轴上有一动点D9(m，0)（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E， （1）直接写出抛物线和直线AB的函数表达式． （2）当点C是DE的中点时，求出m的值，并判定四边形ODEB的形状（不要求证明）． （3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a＜90°），连接D′A、D′B，求D′A+D′B的最小值． 10．如图，直线y=x+2与抛物线y=x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB交于点M． （1）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标； （2）若点P为直线OD上一动点，求△APB的面积； （3）作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M上一动点，求QB'+QB的最小值． 11．如图1，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（点A在点B左边），O为坐标原点．点D是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE∥x轴交直线BC于点E．点P为∠CAB角平分线上的一动点，过点P作PQ⊥BC于点H，交x轴于点Q；点F是直线BC上的一个动点． （1）当线段DE的长度最大时，求DF+FQ+PQ的最小值． （2）如图2，将△BOC沿BC边所在直线翻折，得到△BOC′，点M为直线BO′上一动点，将△AOC绕点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°）得到△A′OC′，当直线A′C′，直线BO′，直线OM围成的图形是等腰直角三角形时，直接写出该等腰直角三角形的面积． 12．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0,2）。