6.2.1 空间向量基本定理（题型专训）-高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）

6.2.1 空间向量基本定理 一、单选题 1．已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】若三个向量非零不共线能作为基底，则满足. 【解析】对于A项，因为，则，，共面，不能作为基底，故A不符合题干. 对于C项，因为，则，，共面，不能作为基底，故C不符合题干. 对于D项，，则，，共面，不能作为基底，故D不符合题干. 对于选项B，假设，，共面，则存在，，使，所以无解，所以，，不共面，可以作为空间的一组基底． 故选：B 2．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基底的定义依次判断各选项即可. 【解析】对于A选项，不存在使得成立，故能构成空间的另一个基底； 对于B选项，，故不能构成空间的另一个基底； 对于C选项， ，故不能构成空间的另一个基底； 对于D选项，，故不能构成空间的另一个基底. 故选：A. 3．如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量 得：，展开化简，再利用向量的数量积，便可得出答案. 【解析】解：， ， ∵，，，， . ，即的长为.     故选：B. 4．三棱柱中，为棱的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可． 【解析】． 故选：D． 5．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】利用共面向量定理分析判断，其中选项ABD中，一个向量可以表示为另外两个向量的共线向量的和的形式，所以三个向量共面；只有选项C的向量不可以，即得解. 【解析】对于A，因为 所以，，共面，A不符合题意； 对于B，因为 所以，，共面，B不符合题意； 对于C，， 所以，，共面，C不符合题意； 假设存在实数满足， 所以,所以 ，该方程组没有实数解. 所以不存在实数满足， 故，，不共面， D符合题意. 故选：D. 6．已知空间四边形ABCO中，，，，M为OA中点，点N在BC上，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算法则，即可求解． 【解析】如图所示： 点N在BC上，且，∴， 由，， ， 为中点，，， ． 故选：D． 7．如图，四面体的所有棱长都相等，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用为基底表示向量，再根据向量模的公式和夹角公式求解即可. 【解析】解：因为四面体的所有棱长都相等，，， 所以，两两夹角为，且分别为的中点， 所以，，， 设四面体的棱长为， 所以，， ， ， 所以 故选：B 8．在三棱锥中，P为内一点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，根据 ，，，得到P是的重心求解. 【解析】延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，如图所示： 因为，，， 所以， 所以P是的重心， 所以，即， 所以， 整理得． 故选：C 9．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当和的长度都为最短时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件确定点M，N的位置，再借助空间向量数量积计算作答. 【解析】因，则，即， 而，则共面，点M在平面内， 又，即，于是得点N在直线上， 棱长为1的正四面体中，当长最短时，点M是点A在平面上的射影，即正的中心， 因此，，当长最短时，点N是点D在直线AC上的射影，即正边AC的中点， ，而，， 所以. 故选：A 10．有以下命题：①若，则与､共面；②若与､共面，则；③若，则､､､四点共面；④若､､､四点共面，则；⑤若存在，使，则；⑥若､不共线，则空间任一向量().其中真命题是（    ） A．①② B．①③ C．②③④ D．③④⑥ 【答案】B 【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可； 【解析】解：①正确，由平面向量基本定理可得，若，则与､共面； ②不正确，若､均为零向量，为非零向量，则后式不成立， ③正确，由平面向量基本定理得， ④不正确，若､均为零向量，为非零向量，则后式不成立， ⑤不正确，若､为相反向量时，，， ⑥不正确，若､不共线，当与､所在的平面垂直时，则后式不成立， 故选：B. 11．设是四面体，是的重心，G是上的一点，且，若，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】取的中点，连接，然后利用三角形法则以及三角形重心的性质和中线的性质即可求解． 【解析】如图所示， 取的中点，连接， 因为，