第11讲 矩形的性质与判定-2023年寒假八年级数学衔接知识自学讲义（人教版）

第11讲 矩形的性质与判定 【学习目标】 1．了解矩形的概念，掌握矩形的特殊性质（边、角、对角线）； 2．能利用矩形的性质解决相关的计算和证问题； 3.理解并掌握矩形的判定定理，并能运用矩形的判定解决相关的证明和计算问题； 4.能利用矩形的性质证明:直角三角形斜边中线等于斜边的一半。 【基础知识】 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形 矩形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为矩形： 1）边：①对边平行；②对边相等，即AD∥DC，AB∥DC；AD=BC，AB=DC 2）角：四个角都是90°，即∠A=∠B=∠C=∠D=90° 3）对角线：①对角线相等；②对角线相互平分，即AC=BD；AO=BO=CO=DO 4）对称性：轴对称图形；中心对称图形 5）重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即如上图，如∠A=90°，点O为斜边BD的中点，则AO=BD（或AO=OB=OD） 矩形是特殊的平行四边形，常见的判定思路：平行四边形+矩形的一个特殊性质，具体如下： 1）判定方法1（定义）：平行四边形+1个角是90°； 2）判定方法2（角）：有3个角是直角的四边形，即∠BAB=∠ABC=∠BCD=90°； 3）判定方法3（对角线）：平行四边形+对角线相等，或对角线相等且相互平分。 【考点剖析】 考点1：矩形的相关性质 例1．（2022·河南洛阳·统考二模）关于矩形的性质，以下说法不正确的是（　　） A．邻边相互垂直 B．对角线相互垂直 C．是中心对称图形 D．对边相等 【答案】B 【分析】根据矩形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A．矩形的邻边相互垂直，说法正确，故本选项不合题意； B．矩形的对角线相等，但不相互垂直，原说法错误，故本选项符合题意； C．矩形是中心对称图形，说法正确，故本选项不合题意； D．矩形的对边相等，说法正确，故本选项不合题意；故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质定理，熟记矩形的性质是解题的关键． 变式1．（2022·云南楚雄·九年级统考期中）下列关于矩形的说法中正确的是（     ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线相等且互相平分 C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．对角线互相平分的四边形是矩形 【答案】B 【分析】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误； B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确； C、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定的应用，能熟记矩形的性质和判定定理是解此题的关键． 考点2：利用矩形的性质求角度 例2．（2022·重庆市初三期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，已知∠EAD＝3∠BAE，则∠EOA＝______°． 【答案】 【分析】由已知条件可先求得，在Rt△ABE中可求得，再由矩形的性质可得OA=OB，则可求得，即可求得结果； 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴，OA=OB， ∵∠EAD＝3∠BAE，∴，∴， ∵AE⊥BD，∴， ∴，．故答案是． 【点睛】本题主要考查了利用矩形的性质求角度，准确利用已知条件是解题的关键． 变式2．（2022·湖北初三一模）如图，将矩形绕点顺时针旋转50°，得到矩形，点，，在一条直线上，连接，则的度数为_______． 【答案】65° 【分析】连接AC，由旋转的性质可得∠CAC=50°，根据四边形ABCD是矩形和旋转的性质，得出AC=AC，即可求出答案． 【解析】解：连接AC，由旋转的性质可得∠CAC=50°， ， ∵四边形ABCD是矩形，且矩形为旋转所得，∴AC=AC， ∴∠ACB=∠ACB=（180°-50°）÷2=65°，故答案为：65°． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，得出∠CAC=50°是解题关键． 考点3：利用矩形的性质求长度（面积） 例3．（2022·河南初三期末）如图,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足为E,∠BAE=30°,那么△ECD的面积是　（ ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，先求Rt△AED的面积，再证明△ECD的面积与它相等． 【解析】 如图：过点C作CF⊥BD于F.∵矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD，∠BAE=30°. ∴∠ABE=∠CDF=60°,AB=CD,AD=BC=2,∠AEB=∠CFD=90°，∠AED=30°， ∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF.∴S△AED=EDAE,S△ECD=E