6.2.3-6.2.4 平面向量的数乘和数量积运算（分层练习）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用 6.2.3-6.2.4 平面向量的数乘和数量积运算 精选练习 基础篇 1. 已知向量，满足，且，则，夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的点乘关系，求出，即可求出，夹角. 【详解】解：由题意，向量，中，， ，解得： ∴，故选：C. 2．若向量的夹角为，则__________. 【答案】 【分析】代入求解. 【详解】 3．已知两个单位向量、的夹角为，若向量，则__. 【答案】 【分析】计算，，计算得到答案. 【详解】由题意得， 所以. 故答案为： 4．已知是边长为的等边三角形，则________． 【答案】 【分析】根据向量数量积运算求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 5．已知是平面上的非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】充分性用数量积的几何意义验证，必要性直接证明. 【详解】根据向量乘积的几何意义则表示与在上投影数量的乘积，同理 表示与在上投影数量的乘积， 画图为：在的投影都为，但是， 所以充分性不成立. 若，则成立,即必要性成立，所以B正确. 故选：B． 6．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共线判断三点共线即可． 【详解】解：， 又与过同一点B，∴ A、B、D三点共线．故选：C． 7．设向量，满足，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据，，相减即可求得的值或根据极化恒等式直接求解． 【详解】通法：由条件可得，，两式相减得，所以． 极化恒等式法：．故选：A 【点睛】在运用极化恒等式求数量积时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线及第三边的长度，通常用平面几何方法或用正余弦定理求解，从而得到数量的值． 8．已知非零向量满足，且，则__________． 【答案】 【分析】先求得，从而求得. 【详解】由两边平方得， ，. 所以. 9．已知向量满足，且，则夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由数量积运算得出夹角. 【详解】设夹角为，，即，. 故选：A 10．已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方的方法化简，由此求得与的夹角. 【详解】设与的夹角为， 由两边平方得， 即，由于，所以.故选：D 11.已知，，． (1)求； (2)求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）用平面向量的模长及数量积运算即可求解. （2）用公式，展开即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，即， 即，又，所以 （2） 12．设是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则________. 【答案】4 【分析】根据向量共线定理可得存在实数使，从而得到关于的方程组，进而可求出. 【详解】由题意可知与共线， 所以存在实数使， 因为不共线，所以解得或， 因为向量与的方向相同，所以，即，故答案为：4 提升篇 1．在△ABC中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的加、减法及向共线向量的表示可得结果. 【详解】∵， ∴，则 ， 又∵，∴，即：，， ∴. 故选：B. 2．已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两边平方，得到，再根据平面向量数量积的定义得到，根据向量夹角的范围可求出夹角. 【详解】因为， 所以，所以， 所以，所以， 因为，所以,所以与的夹角为．故选：D 3．已知向量满足，则与的夹角为_______________． 【答案】 【分析】根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】， ， 设与的夹角为， ， 因为，所以. 4．在中，D为BC上一点.若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得的等量关系式，然后利用基本不等式求得正确答案. 【详解】由于三点共线，所以， 所以， 当且仅当. 故选：C 5．已知向量，是两个单位向量，则“”为锐角是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的概念，平面向量数量积的定义与性质即可判断． 【详解】向量，是两个单位向量，由为锐角可得， ， 反过来，由两边平方可得， ，， ，不一定为锐角， 故“为锐角”是“”的充分不必要条件，故选：A． 6．若，则__． 【