6.3.3空间角的计算-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第二册）

6.3.3空间角的计算 目标导航 课程标准 重难点 1.能用向量方法解决简单夹角问题. 2.通过用空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 重点：利用空间向量求空间角. 难点：利用空间向量求空间角. 知识精讲 知识点01 空间角 角的分类 向量求法 图形 范围 异面直线所成的角 若两异面直线所成角为，它们的方向向量分别为，则有=_     _____ . （0,] 直线与平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与 的角为，则有__       ____=_______. [0,] 二面角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则_     _为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小为，其两个面的法向量分别为，=__     ___=______ [0,π] 平面与平面的夹角 求平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角_    _=_  __. [0,] 注意： （1）求二面角的平面角问题转化为两平面法向量的夹角问题. （2）两平面所成的角的范围是[0,] ，二面角的范围是[0,π]. （3）二面角与两平面的夹角不是相同的概念. 【即学即练1】在棱长为1的正方体中，E为棱的中点，F为棱的中点．则异面直线与所成角的余弦值是（    ）． A． B． C． D． 【即学即练2】在三棱柱中，如图所示，侧棱底面，点是的中点，是的中点，，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 能力拓展 ◆考点01 向量法求异面直线所成的角 ◆类型1求异面直线所成的角 【典例1】在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点. (1)证明：平面. (2)求直线与所成角的余弦值. 【典例2】如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，点M、N分别是AA1、A1C1的中点，点P在棱A1B1上，且A1P=3PB1，Q为BP的中点， (1)求证：； (2)求MN与BP所成角的余弦值； (3)求NQ的长. ◆类型2已知异面直线所成的角求其他量 【典例3】如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，是线段的中点，是线段上一点（不与两点重合），且．若直线与所成角的余弦值是，则（    ） A． B． C． D． ◆考点02向量法求直线与平面做成的角 【典例4】若正三棱柱的所有棱长都相等，是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为______. 【典例5】图1是中国古代建筑中的斗拱结构，，是互相垂直横梁，是与横梁垂直的立柱，从柱顶上加的一层层探出成弓形的承重结构即为斗拱.在某古代建筑中（图2），记，，，与平面所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． ◆考点03 向量法求面面角 ◆类型1 向量法求面面角 【典例6】如图，是正四棱柱被平面所截得的几何体，若，，，则截面与底面所成二面角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【典例7】如图，在三棱柱中，平面，，是等边三角形，D，E，F分别是棱，AC，BC的中点. (1)证明：平面. (2)求平面ADE与平面夹角的余弦值. ◆类型2 已知面面角求其他向量 【典例8】如图1，在中，是直角，，是斜边的中点，分别是的中点．沿中线将折起，连接，点是线段上的动点，如图2所示． (1)求证：平面； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，当二面角的余弦值为时．求的值． 条件①：；条件②：． 【典例9】如图,在四棱雉P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,平面ABCD,, (1)求证:平面平面PBC; (2)试问在线段PC上是否存在一点M,使得二面角的大小为,若存在求出的值;若不存在,请说明理由． 分层提分 题组A 基础过关练 一、单选题 1．如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，，则该二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．《瀑布》（图1）是埃舍尔为人所知的作品．画面两座高塔各有一个几何体，右塔上的几何体首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）．埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，定义这三个正方形的顶点为“框架点”，定义两正方形的交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，如图3．埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成的，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，在图4中构造了其中两个四棱锥与，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．在各棱长均相等的直三棱柱中，点M在上，点N在AC上且，则