第02课 空间向量在平行垂直判断的应用-2022-2023学年高二数学课后培优分级练（苏教版2019选择性必修第二册）

第02课 利用空间向量判断平行与垂直 一、核心体系 二、高频考点+重点题型 考点一：利用空间向量判断平行与垂直 例1-1.下列说法正确的是（ ） A．已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则 B．设是平面α的法向量，是直线l的方向向量，则直线l与平面α的位置关系是平行 C．若平面的法向量为，平面的法向量为，则 . D．已知为平面的一个法向量，为平面的法向量.若，则. 例1-2．放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出： （1）直线BC的一个方向向量___________； （2）点OD的一个方向向量___________； （3）平面BHD的一个法向量___________； （4）的重心坐标___________. 训练题组 1．下列利用方向向量、法向量判断线线、线面位置关系的结论，其中正确的是（    ） A．两条直线，的方向向量分别是，，则 B．直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则 C．直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则 D．直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则 2．已知平面经过三点，求平面的一个法向量是___; 3．已知平面，写出平面的一个法向量______． 4．如图，长方体中，，，，，分别是，的中点，以为原点，分别以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是___________. 5．空间直角坐标系中，两平面α与β分别以（2，1，1）与（0，2，1）为其法向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为_____．（写出一个方向向量的坐标） 考点二：利用空间向量证明平行 例2-1．（2022·全国·高三）已知长方体中，，，，点、在棱、上，且，，点、分别为、的中点．求证：直线直线． 例2-2．（2022·山西·运城市景胜中学高二）如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明： （1）MN∥平面CC1D1D； （2）平面MNP∥平面CC1D1D． 例2-3．如图所示正四棱锥，P为侧棱SD上的点，且． 侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC，若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 例2-4．如图，已知四棱锥的底面为平行四边形， ，为的中点，设 ，，． (1)用，，表示； (2)求证：平面． 训练题组 1．如图，在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点． (1)求证： 平面； (2)证明：EF与平面不垂直． 2．如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 考点三、证明垂直 例3-1．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点.请用空间向量知识解决下列问题： (1)求证：； (2)求证：平面. 例3-2．（2022·全国·高三）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，平面平面，且，为的中点，证明：平面平面. 例3-3．（2022·全国·高二）如图，在四棱锥中中，底面，，，，，点为棱的中点. （1）证明：； （2）若为棱上一点，满足，求线段的长. 例3-4．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E，F分别是的中点. (1)求证：； (2)在平面内求一点G，使平面. 例3-5．如图，三棱柱的所有棱长都相等，，点M为的重心，AM的延长线交BC于点N，连接．设，，． (1)用，，表示； (2)证明：． 训练题组 1．如图，在四棱锥中，平面平面 ，，，且，. 在线段上，是否存在一点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，说明理由. 2．如图，在平行六面体中，设，，，分别是，，的中点. (1)试用，，表示以下列向量：. (2)，，求证：平面 3．如图，在正三棱柱中，，E是的中点，F是的中点，若过A，E，F三点的平面与交于点G，则__________． 考点四、其他证明 例4．如图，在长方体中，，，E，F分别是CD，BC的中点． 求证：平面； 训练题组 1．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高二阶段练习）如图，已知矩形所在平面外一点P，平面，、分别是、的中点． 求证：（1）共面； （2）求证：． 2．在正四面体中，分别是的中点.设， (1)用表示； (2)用向量方法证明； ①； ②四点共面. 三、参考知识 知识点一：空间向量的坐标表示及其应用 设，，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 数量积 共线（平行） 垂直 （均非零向量） 模 ，即 夹角 知识点二：直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 2、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称