专题3 平行线中的“拐点”模型研究-2022-2023学年七年级数学下册专题提优及章节测试卷（人教版）

专题3 平行线中的“拐点”模型研究（原卷版） 第一部分 典例精析+变式训练 类型一 基本模型：M型，U型，Z型结论探究 典例1 如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点． （1）当点P移动到AB、CD之间时，如图（1），这时∠P与∠A、∠C有怎样的关系？证明你的结论； （2）当点P移动到图（2）、图（3）的位置时，∠P、∠A、∠C又有怎样的关系？请分别写出你的结论． 类型二 基本模型简单变式 典例2 （2021秋•沈阳期末）如图，AD∥CE，∠ABC＝110°，则∠2﹣∠1的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．110° 变式训练 1．（2022春•南京期中）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上．若∠1＝40°，则∠2的度数为 　 　． 2．（2021春•福州期中）如图，AB∥DE，∠1＝26°，∠2＝116°，则∠BCD＝　 　°． 类型三 “M”型套“M”型 典例3（2021春•奉化区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠AFC＝120°，∠EAF∠EAB，∠ECF∠ECD，则∠AEC＝　 　度． 变式训练 1．（2021春•海淀区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠EAF∠EAB，∠ECF∠ECD，则∠AFC与∠AEC之间的数量关系是 　　． 类型四 “M”型叠“M”型 典例4 （2019春•老河口市期中）如图，AB∥CD，∠E＝35°，∠F＝∠G＝30°，则∠A+∠C的度数为　 　． 变式训练 1．（2022春•鄞州区校级期中）如图，AB∥CD，∠E+∠G＝∠H，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠F的度数为　 　． 类型五 过拐点作平行线——“Z”型图形研究 典例5（2020春•硚口区期末）已知AB∥CD （1）如图1，求证：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180° （2）如图2，∠DCE的平分线CG的反向延长线交∠ABE的平分线BF于F ①若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．②若∠BFC﹣∠BEC＝74°，则∠BEC＝ 　°． 变式训练 1．（静安区期中）（1）如图α示，AB∥CD，且点E在射线AB与CD之间，请说明∠AEC＝∠A+∠C的理由． （2）现在如图b示，仍有AB∥CD，但点E在AB与CD的上方， ①请尝试探索∠1，∠2，∠E三者的数量关系． ②请说明理由． 类型六 过拐点作平行线——“U”型图形研究 典例6（2022春•沭阳县月考）（1）如图①，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝　 　； 如图②，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝　 　，请你说明理由； （2）如图③，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝　 　； （3）利用上述结论解决问题：如图④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝130°，求∠BFD的度数． 变式训练 1．（2022春•丛台区校级期末）如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆DE始终和桌面FG平行，灯脚AB始终和桌面FG垂直． （1）当∠EDC＝∠DCB＝120°时，求∠CBA； （2）连杆BC、CD可以绕着B、C和D进行旋转，灯头E始终在D左侧，设∠EDC，∠DCB，∠CBA的度数分别为α，β，γ，请画出示意图，并直接写出示意图中α，β，γ之间的数量关系． （1）解：过点C作CP∥DE，延长CB交FG于点H， ∵DE∥FG，∴PC∥FG（ 　 　）． ∴∠PCD＝180°﹣∠D＝60°（ 　 　）． ∴∠PCH＝120°﹣∠PCD＝60°．∴∠CHA＝∠PCH＝60°（ 　 　）． 又∵AB⊥FG，∴∠ABH＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABH＝　 　°． 2．（2022春•奉贤区期中）已知：AB∥DE． （1）如图1，点C是夹在AB和DE之间的一点，当AC⊥CD时，垂足为点C，你知道∠A+∠D是多少吗？这一题的解决方法有很多， 例如（i）过点C作AB的平行线；（ii）过点C作DE的平行线；（iii）联结AD；（iv）延长AC、DE相交于一点．请你选择一种方法（可以不选上述四种），并说明理由． （2）如图2，点C1、C2是夹在AB和DE之间的两点，请想一想：∠A+∠C1+∠C2+∠D＝　 　度，并说明理由． （3）如图3，随着AB与CD之间点增加，那么∠A+∠C1+∠C2+……+∠Cn+1+∠D＝　 　度．（不必说明理由） 类型七 几种基本图形的组合 典例7 （2021春•金坛区期末）将一根铁丝AF按如下步骤弯折： 第一步，在点B，C处弯折得到图1的形状，其中AB∥CF； 第二步，将CF绕点C逆时