课后提升练(2) 弧度制及其与角度制的换算（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册（人教版B版2019）

课后提升练(二)　弧度制及其与角度制的换算 1．(多选)下列命题中，真命题是(　　) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的 C．1 rad的角比1°的角要大 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 ABC　解析：根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题． 2．已知α＝，则α的终边在(　　) A．第一象限 　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　解析：α＝∈， ∴α的终边在第二象限． 3．若角α的终边在如图所示的阴影部分，则角α的取值范围是(　　) A． B． C． D． D　解析：易知阴影部分的两条边界分别是和的终边， 所以α的取值范围是{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}． 4．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则(　　) A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变 C．扇形的面积增大到原来的2倍 D．扇形的圆心角增大到原来的2倍 B　解析：根据弧度的定义可知：圆心角的大小等于弧长对半径的比，故选B. 5．与30°角终边相同的角的集合是(　　) A． B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z} C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z} D． D　解析：∵30°＝30°×＝，∴与30°终边相同的所有角可表示为α＝2kπ＋，k∈Z. 6．一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是________弧度，扇形面积是________． π－2　2(π－2)　解析：由题意知r＝2，l＋2r＝πr， ∴l＝(π－2)r，∴圆心角α＝＝＝π－2， 扇形面积S＝lr＝×(π－2)·r·r＝2(π－2). 7．集合A＝，集合B＝{x|6＋x－x2≥0}，则A∩B＝________． 　解析：B＝{x|6＋x－x2≥0}＝{x|－2≤x≤3}， 又因为A＝， 所以当k＝0时，A∩B＝， 当k＝1，2，3，…时A∩B＝∅， 当k＝－1时，A∩B＝， 当k＝－2，－3，－4，…时A∩B＝∅， 综上可知，A∩B＝. 8．把下列角化为2kπ＋α(0≤α＜2kπ，k∈Z)的形式： (1)；(2)－315°. 解：(1)＝4π＋.∵0≤<2π.∴＝4π＋. (2)∵－315°＝－315×＝－＝－2π＋， ∵0≤<2π，∴－315°＝－2π＋. 9．已知α＝2 000°. (1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π). 解：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋π. (2)θ与α的终边相同，故θ＝2kπ＋π，k∈Z， 又θ∈(4π，6π)，所以k＝2时，θ＝4π＋π＝. 10．时钟经过1小时，时针转过了(　　) A．rad B．－rad C．rad D．－rad B　解析：顺时针方向旋转形成的角为负角， α＝－·2π＝－. 11．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是(　　) A.2 B．sin 2 C．2sin 1 D． D　解析：设圆的半径为R，则sin 1＝，∴R＝，故所求弧长为l＝α·R＝2·＝. 12．1 920°转化为弧度数为(　　) A． B． C． D． D　解析：1 920°＝1 920×＝. 13．2弧度的角所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　解析：因为<2<π，所以2弧度的角是第二象限角． 14．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合． 解：(1)将阴影部分看成是由OA逆时针旋转到OB所形成．故满足条件的角的集合为 . (2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为. (3)将题干图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π rad而得到，所以满足条件的角的集合为. (4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad后可得到第四象限的阴影部分．所以满足条件的角的集合为. 15．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求 (1) 的长； (2)扇形所含弓形的面积． 解：(1)∵120°＝π＝π，∴l＝6×π＝4π， ∴的长为4π. (2)∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π， 如题干图所示有S△OAB＝×AB×OD(D为AB中点)＝×2×6cos 30°×3＝9. ∴S扇形OAB－S△OAB＝12π－9. 即弓形的面积是12π－9. 学科网（北京）股份有限公司 $