1.5.2 数量积的坐标表示及其计算（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．(2022·全国乙卷文)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 D　[解法一　由题意知a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)， 所以|a－b|＝＝5. 解法二　由题意知|a|＝，|b|＝2， a·b＝2×(－2)＋1×4＝0， 所以|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝25， 所以|a－b|＝5.] 2．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　　) A．1 B． C．2 D．4 C　[∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2 ＝2(－1＋n2)－(1＋n2) ＝n2－3＝0， ∴n2＝3.∴|a|＝＝2.] 3．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 A　[由题设知＝(8，－4)，＝(2，4)，＝(－6，8)，所以·＝2×8＋(－4)×4＝0，故⊥，所以∠BAC＝90°.故△ABC是直角三角形．] 4．(多选题)若a＝(2，－3)，则与向量a垂直的单位向量的坐标为(　　) A．(3，2) B．(，) C．(－，－) D．以上都不对 BC　[设与a垂直的单位向量为(x，y). ∵(x，y)是单位向量， ∴＝1，即x2＋y2＝1.① 又∵(x，y)表示的向量垂直于a， ∴2x－3y＝0.② 由①②得或] 5．(多选题)已知a＝(1，1)，b＝(0，－2)，且ka－b与a＋b的夹角为120°，则k等于(　　) A．－1＋ B．－2 C．－1－ D．1 AC　[∵|ka－b|＝， |a＋b|＝＝. ∴(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2 ＝－2. 又ka－b与a＋b的夹角为120°， ∴cos 120°＝， 即－＝， 化简并整理，得k2＋2k－2＝0.解得k＝－1±.] 6．已知a＝(3，)，b＝(1，0)，则(a－2b)·b＝________． 1　[∵a－2b＝(1，)，∴(a－2b)·b＝1×1＋×0＝1.] 7．已知＝(－2，1)，＝(0，2)，且∥，⊥，则点C的坐标是________． (－2，6)　[设C(x，y)，则＝(x＋2，y－1), ＝(x，y－2)，＝(2，1). 由∥，⊥，得解得 故点C的坐标为(－2，6).] 8．已知a＝(1，3)，b＝(2＋λ，1)，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__________． ∪　[由a与b的夹角为锐角， 得a·b＝2＋λ＋3＞0，λ＞－5. 当a∥b时，(2＋λ)×3－1＝0，λ＝－. 故λ的取值范围为λ＞－5且λ≠－.] 9．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2). (1)设c＝4a＋b，求(b·c)a； (2)若a＋λb与a垂直，求λ的值； (3)求向量a在b方向上的投影． 解　(1)∵c＝4(1，2)＋(2，－2)＝(6，6)， ∴b·c＝(2，－2)·(6，6)＝2×6－2×6＝0. ∴(b·c)a＝0·a＝0. (2)∵a＋λb＝(1，2)＋λ(2，－2)＝(1＋2λ，2－2λ)， (a＋λb)⊥a， ∴(1＋2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝. (3)方法一　设a与b的夹角为θ，则 cos θ＝＝＝－. ∴向量a在b方向上的投影为 |a|cos θ＝×＝－. 方法二　∵a·b＝(1，2)·(2，－2)＝－2，|b|＝2. ∴向量a在b方向上的投影为 |a|cos θ＝＝－＝－. 10．已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4). (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值． (1)证明　∵A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)， ∴＝(1，1)，＝(－3，3). 又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴⊥，即AB⊥AD. (2)解　∵⊥，四边形ABCD为矩形， ∴＝. 设C点坐标为(x，y)，则＝(1，1)，＝(x＋1，y－4). ∴解得 ∴C点坐标为(0，5). ∵＝(－2，4)，＝(－4，2)， ∴·＝8＋8＝16>0. 又||＝2 ，||＝2 ，设与的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝>0. ∴矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值为. 11．已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是(　　) A．(－3，0) B．(2，0) C．(3，0) D．(4，0) C　[设P(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)， ∴·＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3