1.5.1 数量积的定义及计算（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°，则a·b等于(　　) A．－6　　　　　　　　 B．6 C．－6 D．6 答案　C 2．已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为(　　) A．45° B．135° C．120° D．150° B　[∵cos θ＝＝＝－，且0°≤θ≤180°， ∴θ＝135°.] 3．已知|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝，则|a－b|等于(　　) A． B． C． D． A　[因为|a＋b|2＝19.所以a2＋2a·b＋b2＝19. 所以2a·b＝19－4－9＝6. 于是|a－b|＝＝＝.] 4．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是(　　) A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形 B　[∵＝，即一组对边平行且相等，又·＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．] 5．(多选题)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论中正确的有(　　) A．e1在e2方向上的投影向量为cos θe2 B．e＝e C．(e1＋e2)⊥(e1－e2) D．e1·e2＝1 ABC　[因为两个单位向量e1，e2的夹角为θ， |e1|＝|e2|＝1， 则e1在e2方向上的投影向量为|e1|cos θ e2＝cos θ e2，故A正确． e＝e＝1，故B正确．(e1＋e2)·(e1－e2)＝e－e＝0， 故(e1＋e2)⊥(e1－e2)，故C正确． e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝cos θ，故D错误．] 6．若|a|＝3，|b|＝5，a与b不共线，且(a＋λb)·(a－λb)＝0，则λ＝________． ±　[由已知(a＋λb)·(a－λb)＝0， 即|a|2－λ2|b|2＝0，∴9－25λ2＝0，∴λ＝±.] 7．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________． 　[设a与b的夹角为θ，由(a＋2b)·(a－b)＝－2，得|a|2＋a·b－2|b|2＝4＋2×2×cos θ－2×4＝－2，解得cos θ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝.] 8．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________三角形． 等边　　[因为·＝||||cos ∠BAC，即 8＝4×4cos ∠BAC， 所以cos ∠BAC＝. 又因为∠BAC∈[0，π]，所以∠BAC＝. 又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．] 9．在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求： (1)·； (2)在方向上的投影； (3)在方向上的投影． 解　∵||＝5，||＝4，||＝3. ∴△ABC为直角三角形，且C＝90°. ∴cos A＝＝，cos B＝＝. (1)·＝－·＝－5×4×＝－16. (2)在方向上的投影为 ||cos 〈，〉＝＝＝. (3)在方向上的投影为 ||cos 〈，〉＝＝＝－4. 10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1. (1)求a与b的夹角θ. (2)求(a－2b)·b. (3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？ 解　(1)∵|a|＝2|b|＝2，∴|a|＝2，|b|＝1. 又a在b方向上的投影为|a|cos θ＝－1， ∴a·b＝|a||b|cos θ＝－1.∴cos θ＝－， 又θ∈[0，π]，∴θ＝. (2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3. (3)∵λa＋b与a－3b互相垂直， ∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝. 11．已知|a|＝2，|b|＝1，且a与b的夹角为，则向量m＝a－4b的模为(　　) A．2 B．2 C．6 D．12 B　[|m|2＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1×＋16＝12，所以|m|＝2.] 12．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 A　[因为(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，又－＝， 所以(－)·(＋)＝0，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形．] 13．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________． －8或5　[由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos ，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.] 14