1.4.1 向量分解及坐标表示（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．下列各组向量中可作为▱ABCD所在平面内所有向量的一个基的是(　　) A．{，} B．{，} C．{，} D．{，} D　[因为，不共线，所以是一个基．] 2．如图，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于(　　) A．(5e1＋3e2)　　　　　 B．(5e1－3e2) C．(3e2－5e1) D．(5e2－3e1) A　[＝＝(－)＝(＋)＝(5e1＋3e2).] 3．设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则(　　) A．＝－＋ B．＝－ C．＝－ D．＝－＋ D　[依题意，得＝－＝－＝×(＋)－＝－＋.] 4．(多选题)下列结论正确的是(　　) A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 B．若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R，e1，e2是单位向量)，则a＝c，b＝d C．向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0 D．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，则x＋y＝1 CD　[根据基的概念可知，平面内任意两个不共线的向量都可以作为该平面内向量的基，故A错误；当e1，e2是共线向量时，结论不一定成立，故B错误；若a与b均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数λ1，λ2，使得λ1a＋λ2b＝0；若a≠0，则由两向量共线知，存在λ，使得b＝λa，即λa－b＝0，符合题意，故C正确；由于A，B，P三点共线，所以，共线，由共线向量定理可知，存在实数λ使得＝λ，即－＝λ(－)，所以＝(1－λ)＋λ，故x＝1－λ，y＝λ，所以x＋y＝1，故D正确．] 5．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有＝＋λ，则λ等于(　　) A． B． C．－ D．－ C　[因为A，B，D三点共线， 所以存在实数t，使＝t，则－＝t(－). 所以＝＋t(－)＝(1－t)＋t. 所以解得λ＝－.] 6．已知{a，b}是平面内的一个基，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________． 3　[因为{a，b}是一个基，所以a与b不共线． 因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b， 所以解得所以x－y＝3.] 7．如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设＝a，＝b，则＝________(用a，b表示). a＋ b　[＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.] 8．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基，则实数λ的取值范围为______________． (－∞，4)∪(4，＋∞)　[若能作为平面内的一组基，则a与b不共线． 当a与b共线时，存在实数m使b＝ma，m∈R，即2e1＋λe2＝m(e1＋2e2)，解得m＝2，λ＝4，要使a，b能作为平面内的一组基，则λ≠4.] 9. 如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j作为基底，分别用i，j表示，，，并求出它们的坐标． 解　由图形可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它们的坐标表示为＝(6，2)，＝(2，4)，＝(－4，2). 10．在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k.设＝e1，＝e2，以e1，e2为基表示向量，，. 解　 方法一　如图所示， ∵＝e2，且＝k， ∴＝k＝ke2. 又∵＋＋＋＝0， ∴＝－－－＝－＋＋ ＝e1＋(k－1)e2. 又∵＋＋＋＝0， 且＝－，＝， ∴＝－－－＝－＋＋ ＝e2. 方法二　如图所示，过C作CE∥DA，交AB于点E，交MN于点F. 同方法一可得＝ke2. 则＝＋＝－(－)＋ ＝e1＋(k－1)e2， ＝＋＝＋＝＋(－) ＝e2. 方法三　如图所示，连接MB，MC. 同方法一可得＝ke2，＝e1＋(k－1)e2. 由＝(＋)，得＝(＋＋＋)＝(＋)＝e2. 11．设O，A，B，M为一平面上的4个点，若＝λ＋(1－λ)，λ∈(0，1)，则(　　) A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上 C．点A在线段BM上 D．O，A，B，M四点共线 A　[因为＝λ＋(1－λ)，λ∈(0，1)， 所以－＝λ(－)，所以＝λ，故点M在线段AB上．] 12．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为(　　) A．AB边中线的中点 B．AB边中线的三等分点(非重心) C．△ABC的重心 D．AB边的中点 B　[∵O是△ABC的重心，∴＋＋＝0. ∴＝＝. ∴点P是线段OC的中点，即AB边中线的三等分点(非重心).] 13. 如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝