课后提升训练(7) 平面向量基本定理（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

课后提升训练(七)　平面向量基本定理 1．如图，向量a－b＝(　　) A．e1－3e2 B．e1＋3e2 C．－3e1＋e2 D．－e1＋3e2 D　解析：由图可得a＝e1＋4e2，b＝2e1＋e2，所以a－b＝－e1＋3e2. 2．若AD是△ABC的中线，已知＝a，＝b，则以a，b为基底表示＝(　　) A．(a－b) B．(a＋b) C．(b－a) D．b＋a B　解析：由向量加法的平行四边形法则，补全平行四边形，如图可知：＝＋＝2，所以＝(a＋b).故选B. 3．如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则等于(　　) A． B． C．3 D． A　解析：由题意可得，＝－＝－， ＝＋＝＋＝＋＝＋， 据此可知λ＝，μ＝，∴＝. 4．(多选)若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是(　　) A．{e1－e2，e2－e1} B．{2e1－e2，e1－e2} C．{2e2－3e1，6e1－4e2} D．{e1＋e2，e1＋3e2} ABC　解析：选项A中，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向量；选项B中，2e1－e2＝2，也为共线向量；选项C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，为共线向量．根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合． 5．平行四边形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A． B．2 C． D． D　解析：因为＝＋， ＝＋＝＋，＝－. 所以＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(－)， 所以解得则λ＋μ＝.故选D. 6．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　) A．a－b B．a－b C．a＋b D．a＋b D　解析：连接CD，OD，图略， ∵点C，D是半圆弧AB的两个三等分点， ∴＝，∴CD∥AB，∠CAD＝∠DAB＝30°， ∵OA＝OD，∠ADO＝∠DAO＝30°， ∴∠CAD＝∠ADO＝30°， ∴AC∥DO， ∴四边形ACDO为平行四边形，＝＋. ∵＝＝a，＝b， ∴＝a＋b.故选D. 7．若＝，＝λ＋μ，λ，μ∈R，则λ＋μ＝________． 1　解析：因为＝，＝－，＝－，所以－＝(－)，即＝＋， 因为＝λ＋μ，λ，μ∈R，若，不共线，由平面向量基本定理可得，λ＝，μ＝，则λ＋μ＝1.若，共线，则P，A，B三点共线，则λ＋μ＝1.综上可知，λ＋μ＝1. 8．已知G为△ABC的重心，且＝λ，则λ＝________. 　解析：取BC中点M，则＋＝2，又因为G为△ABC的重心，故＝，因此＝(＋)，故λ＝. 9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：a，b可以作为一组基底； (2)以a，b为基底，表示向量c＝3e1－e2； (3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值． (1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2). 由e1，e2不共线得， ⇒ 所以λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底． (2)解：设c＝ma＋nb(m，n∈R)，得 3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2) ＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2. 由于e1与e2是不共线的非零向量， 所以⇒ 所以c＝2a＋b. (3)解：由4e1－3e2＝λa＋μb，得 4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2) ＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2. 又e1与e2是不共线的非零向量， 所以⇒ 故所求λ，μ的值分别为3和1. 10．(多选)若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是(　　) A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对 C．若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ D．若存在实数λ，μ，使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 BC　解析：由平面向量基本定理，可知A，D说法正确，B说法不正确，对于C，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故C说法不正确．故选BC. 11．(多选)在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边BC和DC的中点，P是DE与BF的交点，则有(　　) A．＝＋ B．＝＋ C．＝＋ D．＝＋ AC　解析：如图所示： 对A，＝＋＝＋， 又∵＝， 即＝＋，故A正确； 对B，＝＋＝＋，故B错误； 对C，设O为AC与BD的交点， 由题意可得P是△CBD的重心，故＝2， ＝＋＝＝＋