课后提升训练(5) 向量的数量积(一)（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

课后提升训练(五)　向量的数量积(一) 1．已知▱ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° C　解析：如图，与的夹角为∠ABC＝120°.故选C. 2．(2021·北京市第四十三中学高一期中)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角的大小为(　　) A． B． C． D． C　解析：设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝，又θ∈[0，π]，故θ＝. 3．(2021·云南昆明高一下检测)在△ABC中，∠A＝60°，||＝2，||＝1，则·的值为(　　) A．－1 B．－ C． D．1 A　解析：因为在△ABC中，∠A＝60°，所以与的夹角为120°，由数量积的定义可得·＝||||cos 120°＝2×1×＝－1.故选A. 4．已知等边△ABC的边长为2，则向量在向量方向上的投影向量为(　　) A．－ B． C．2 D．2 A　解析：在等边△ABC中，因为∠A＝60°，所以向量在向量方向上的投影向量为，所以向量在向量方向上的投影向量为－.故选A. 5．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于(　　) A．－7 B．7 C．25 D．－25 D　解析：由条件知∠ABC＝90°， 所以·＋·＋· ＝0＋4×5cos (180°－C)＋5×3cos (180°－A) ＝－20cos C－15cos A ＝－20×－15×＝－16－9＝－25.故选D. 6．已知a，b的夹角为锐角，|b|＝3，a在b方向上的投影向量的模为，则a·b的值为(　　) A．3 B． C．2 D． B　解析：设a与b的夹角为θ，则|a|cos θ＝， ∴a·b＝|a||b|cos θ＝3×＝.故选B. 7．(2021·山东邹城一中高一下检测)在△ABC中，BC＝5，AC＝8，C＝60°，则·的值为________． －20　解析：·＝||·||cos 〈，〉 ＝5×8×cos 120°＝－20. 8．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________． 90°　解析：由题意可画出图形，在△OAB中，因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，即向量a与c的夹角为90°. 9．已知向量a，b的夹角为30°，且|a|＝，|b|＝2，求向量p＝a＋b与q＝a－b的夹角θ的余弦值． 解：如图，作＝a，＝b，∠AOB＝30°.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，连接OC，AB交于点D，则＝p＝a＋b，＝q＝a－b，∠ADC＝θ.在△ABO中，由勾股定理得，AB＝1，则BD＝.在△BCD中，由BC＝|a|＝，得CD＝，所以cos ∠BDC＝，所以cos θ＝cos (180°－∠BDC)＝－. 10．已知|a|＝8，与a同向的单位向量为e，|b|＝4，a，b的夹角为120°，则向量b在向量a方向上的投影向量为(　　) A．4e B．－4e C．2e D．－2e D　解析：向量b在向量a方向上的投影向量为|b|cos 120°e＝4×cos 120°e＝－2e.故选D. 11．(多选)(2021·安徽蚌埠二中高一期中)如图，在正六边形ABCDEF中，下列命题正确的是(　　) A．＋＝2 B．＝＋ C．·＝· D．(·)·＝·(·) ACD　解析：选项A: ∵＋＝＋＝＝2， ∴A正确． 选项B: 取AD的中点为O，连接BO，则＝2＝2＋2， ∴B错误． 选项C: 在正六边形中，∠BAC＝∠CAD＝，∠ADC＝，所以△ACD中，∠ACD＝， 则·＝ ||||cos ∠DAC＝||2； 同理，·＝||2，∵AC＝AE，∴C正确． 选项D：设六边形边长为1，则·＝2×1×cos ＝1，·＝1×1×cos ＝－，原式化简为＝－A， ∴D正确． 12．已知a·b＝－9，e1，e2分别是与a，b方向相同的单位向量，a在b方向上的投影向量为－3e2，b在a方向上的投影向量为－e1，则a与b的夹角θ＝________. 120°　解析：由题意，得解得 ∴cos θ＝＝＝－.∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝120°. 13．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________，·＝________． 等边三角形　－8　解析：·＝||||cos ∠BAC，即8＝4×4cos ∠BAC，于是cos ∠BAC＝，因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边