课后提升训练(4) 向量的数乘运算（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

课后提升训练(四)　向量的数乘运算 1．(2021·江苏南京高一下月考)下列计算正确的个数是(　　) ①(－5)·3a＝－15a；②3(a＋b)＝3a＋b；③(－4＋1)(a＋2a)＝－9a. A．0 B．1 C．2 D．3 C　解析：(－5)·3a＝－15a，3(a＋b)＝3a＋3b，(－4＋1)(a＋2a)＝－9a，∴①③正确．故选C. 2．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n B　解析：因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即－＝2(－)，所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n. 3．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　) A．a与λ2a的方向相同 B．a与－λa的方向相反 C．|λa|＝λ|a| D．|－λa|＝－λ|a| A　解析：因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同，故A选项正确；当λ<0时，a与－λa的方向相同，故B选项错误；当λ<0时，λ|a|<0，故C选项错误；当λ>0时，－λ|a|<0，故D选项错误．故选A. 4．(多选)(2021·湖南雷锋学校高一月考)如图所示，C，D是线段AB上的两个三等分点，则下列关系式正确的是(　　) A．＝3 B．＝－2 C．＋＝0 D．＝ ABC　解析：对于A：因为C，D是线段AB上的两个三等分点，所以||＝3||，且与同向，所以＝3，故选项A正确； 对于B：因为C，D是线段AB上的两个三等分点，所以||＝2||，且与反向， 所以＝－2，故选项B正确； 对于C：因为C，D是线段AB上的两个三等分点，所以||＝||，且与反向， 所以＝－，所以＋＝0，故选项C正确； 对于D：因为C，D是线段AB上的两个三等分点，所以||＝||，且与反向， 所以＝－，故选项D不正确． 5．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列说法中正确的是(　　) ①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n. A．②④ B．①② C．①③ D．③④ B　解析：由向量数乘的运算律知①②正确；③中当m＝0时，ma＝mb，但a不一定等于b，故错误；④中当a＝0时等式成立，但m不一定等于n，故错误．故选B. 6．(2021·山东淄博第七中学高一下月考)如图在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋＝，则△PAB与△ABC的面积之比是(　　) A． B． C． D． A　解析：∵＋＋＝， ∴＋＋－＝0， 即＋＋＋＝0，∴＋＋＝0，2＋＝0，∴点P在线段AC上，且||＝3||，那么△PAB的面积与△ABC的面积之比是.故选A. 7．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________． ±　解析：由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|. ∵|a|＝3，|b|＝5，∴|λ|＝，即λ＝±. 8．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为________；若向量ma－3b与a＋(2－m)b共线反向，则实数m的值为________． －1或3　－1　解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，所以ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]. 又因为向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝λ且－3＝λ(2－m)，解得m＝－1或m＝3.反向λ为负值，此时m＝－1. 9．计算： (1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)； (2)－； (3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c). 解：(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b. (2)原式＝－ ＝a＋b－a－b＝0. (3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c ＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b. 10．在△ABC中，D为AB的中点，G为线段CD上的一点，若＝＋λ，则λ的值为(　　) A． B． C． D． B　解析：如图， ∵D为AB的中点，∴＝＋λ＝＋λ，且G为线段CD上一点，∴＋λ＝1，解得λ＝.故选B. 11．(多选)设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有(　　) A．若＝(＋)，则点D是边BC的中点 B．若＝(＋)，则点D是△ABC的重心 C．若＝2－，则点D在边BC的延长线上 D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△BCD是△ABC面积的一半 ABD　解析：对A，∵＝(＋)， ∴－＝－，∴＝， 即点D是边BC的中点，故A正确； 对B，设BC的中点为M，则＝(＋)＝×2＝， ∴点D是△ABC的重心，故B正